一阶常微分方程解法总结计划.doc

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⑴、可分别变量的方程:
①、形如
当时,获取,两边积分即可获取结果;
当时,则也是方程的解。
、
解:当时,有,两边积分获取
因此
明显是原方程的解;
综上所述,原方程的解为
②、形如
当时,可有,两边积分可得结果;
当时,为原方程的解,当时,为原方程的解。
、
解:当时,有两边积分获取
,因此有;
当时,也是原方程的解;
综上所述,原方程的解为。
⑵可化为变量可分别方程的方程:
①、形如
解法:令,则,代入获取为变量可分别方程,获取再把

u代入获取。
②、形如
解法:令,则,代入获取为变量可分别方程,获取再把

u代入获取。
③、形如
解法:、,转变成,下同①;
、,的解为,令
获取,,下同②;
还有几类:
以上都可以化为变量可分别方程。
、
解:令,则,代入获取,有因此,把u代入获取。
、
解:由获取,令,有,代入获取
,令,有,代入获取,化简获取,,有,因此有,故代入获取
3)、一阶线性微分方程:
一般形式:
标准形式:
解法:1、直接带公式:
2、积分因子法:
,
3、IVP:,
3、
解:化简方程为:,则
代入公式获取
因此,
、合适方程:形如
解法:先判断是不是合适方程:
假如有恒成立,那么原方程是个合适方程,找出一个,
有;
4、
解:由题意获取,
由获取,原方程是一个合适方程;
下边求一个
由得,两边对y求偏导获取,获取,有,
故,由,获取
、积分因子法:
方程,那么称是原方程的积分因子;积分因子不独一。
①当且仅当,原方程有只与x有关的积分因子,且为,两边同乘以,化为合适方程,下同(4)。
②当且仅当,原方程有只与y有关的积分因子,且为,两边同乘以,化为合适方程,下同(4)。
、
解:由得,且有,有,原方程两边同乘,获取化为,获取解为
、
:由题意获取,,有
有,有,原方程两边同乘,获取,获取原方程的解为:
、贝努力方程:形如,
解法:令,有,代入获取,下同(3)
6、
解:令,有,代入获取,则,有,,把u代入获取.
、一阶隐式微分方程:
一般形式:,解不出的称为一阶隐式微分方程。下边介绍四各种类:
①、形如,
一般解法:令,代入获取,两边对

x求导获取,这是关于

x,p的一阶线性微分方程,模拟
(3),
1、得出解为,那么原方程的通解为
2、得出解为,那么原方程的通解为
3、得出解为,那么原方程的通解为
②、形如
一般解法:令,代入有,两边对y求导,获取,此方程是一阶微分方程,可以依据以上(1)—(5)求出通解,那么原方程的通解为
③、形如
一般解法:设,,两边积分获取,于是有原方程的通解为
④、形如
一般解法:设,由关系式得,有,两边积分获取,于是有

解:令,获取,两边对y求导,获取,
有,获取,于是通解为

解:令,获取,两边对x求导,获取,有
,两边积分获取,于是通解为

解:设有,因此
于是通解为

解:设有,因此
于是通解为
、里卡蒂方程:一般形式:
一般解法:先找出一个特解,那么令,有,代入原方程获取化简获取,为一阶线性微分方程,解出

,
那么原方程的通解为
8
解:我们可以找到一个特解,考据:,代入满足原方程。
令,,代入有,
化简获取,,因此有
因此原方程的解为
或