互余角的三角函数关系.docx

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公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到α-π与α的三角函数值之间的关系
sin(α-π)=-sinα
cos(α-π)=-cosα
tan(α-π)=tanα
cot(α-π)=cotα
公式六:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式七:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)

sinα
cosα
tanα
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2kπ+α
sinα
cosα
tanα
(1/2)kπ-α
cosα
sinα
cotα
(1/2)kπ+α
cosα
-sinα
-cotα
kπ-α
sinα
-cosα
-tanα
kπ+α
-sinα
-cosα
tanα
(3/2)kπ-α
-cosα
-sinα
cotα
(3/2)kπ+α
-cosα
sinα
-cotα
2kπ-α
-sinα
cosα
-tanα
﹣α
-sinα
cosα
-tanα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同,奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。也就是“象限定号,符号看象限”。(或为“奇变偶不变,符号看象限”) 。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变,若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有可口诀;一全正二正弦,三正切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切、余切为正,第四象限余弦为正。)还可简记为:sin上cos右tan对角,即sin的正值都在x轴上方,cos的正值都在y轴右方,tan的正值斜着。
比如:90°+α。定名:90°是90°的奇数倍,所以应取余函数;定号:将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负。所以sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)=-sinα这个非常神奇,屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如:sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,所以sin(90°+α)=cosα
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对称轴与对称中心
y=sinx对称轴:x=kπ+π/2(k∈z)对称中心:(kπ,0)(k∈z)
y=cosx对称轴:x=kπ(k∈z)对称中心:(kπ+π/2,0)(k∈z)
y=tanx对称轴:无对称中心:(kπ,0)(k∈z)
两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;α
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α)
cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α)=3sinα-4sin^3;α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α)=4cos^3;α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1)
半角公式
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sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)sin(α+arctan(B/A))
Asinα+Bcosα=√(A^2;+B^2;)cos(α-arctan(A/B))
万能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
cos(a)=(1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2))
tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2))
降幂公式
sin^2;α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2;α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2;α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角函数图像:
定义域和值域
sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R
cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R
三角函数的画法
以y=sinx的图像为例,得到y=Asin(ωx+φ)的图像:
方法一:
y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ<0)∣∣∣φ∣个单位】→y=sin(x+φ)→【纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sin(ωx+φ)→【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1]/缩短[0<A<1])】→y=Asin(ωx+φ)
方法二:
y=sinx→【纵坐标不变,横坐标伸缩到原来的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ<0)∣φ∣/ω个单位】→y=sin(ωx+φ)→【纵坐标变为原来的A倍(伸长[A>1]/缩短[0<A<1])】→y=Asin(ωx+φ)
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正弦定理
于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形,有:
sinA/a=sinB/b=sinC/c
也可表示为:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
余弦定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形,有: c^2=a^2+b^2-2ab·cosC.
也可表示为:
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab.

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