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《》202210
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·数学基础精讲·
合理放缩,探析零点存在的充分条件
白志峰(北京市通州区潞河中学)
101149
【摘要】通过合理放缩,进行转化与划归,■■
f|1|=a-1+.
减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度,化繁■lna■lna1
易知当a时
为简,逐步分析探究零点存在的充分条件,找出特值,>1,
■■
或证出存在,|1|原函数无零点
■lna■>0,;
【关键词】放缩;端点赋值;思维策略
当a=时
函数的零点问题涉及的知识面广综合性强解1,
、,■■
决问题时常常需要把问题转化为探求某个单调区间极小值f|1|=此时恰有个零点
■lna■0,1;
上存在异号的函数值进而说明该区间上零点的唯
,当a时
0<<1,

,,
因为a-1
<0,1a<0,
,,
■■
“,”所以f|1|.
■■
举例说明解决这一类问题的一种思维策略合lna<0
———
■■■■
|-1|和|1+|上分别
,■∞,lna■■lna,∞■
xx
题目已知函数f(x)=a2+(a-)-x
e2e有且只有一个零点从而说明a的取值范围是.
,(,)
有两个零点,
■■
先证fx在|-1|上有且只有一
解求导可得(1):()■∞,lna■
xx
f'x=a2+a--■■
()2e(2)e1个零点即只需证明存在x|-1|
xx,0,,
=a-+.∈■∞lna■
(e1)(2e1)
使得fx.
当a时(0)
≤0,>0
'xaxx恒成立
f()=(-)(+),解析1注意到1和fx在
e12e1<0lna>0()
故函数fx单调递减
(),■■
即x最多有一个零点|-1|上单调递减可以加强条件
f();■∞,lna■,,
当a时x
>0,考虑x此时.
xx<0,0<e<1
令f'x=a-+=x
()(e1)(2e1)0,因为a2
e>0,
x
得x=1所以fx=a2+a-x-x
lna,()e(2)e
a-x-x.
■■>(2)e
进而可得函数fx在|-1|上单调递减在又因为xa-
()■∞,lna■,0<e<1,2<0,
所以xaxax.
■■f()(-)--
|1+|上单调递增>2e>2
■lna,∞■,令a--x得
2≥0,
此时函数有极小值xa-
≤2,
·2·
年月上数学基础精讲数理天地高中版
202210《》
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所以对于任意a一定存在xa-只需ax+a-
∈(0,1),0≤2<0,e(2)≥1,
使得fx所以令ax+a-=均可
(0)>0,,e(2)1,2,3,…,,
■■■■
故fx在|-1||3-|
()■∞,lna■0ln■a1■,
到此证明了x的存在性无需再取特值验证.■■■■
,0,|4-||5-|等等.
■■,■■,…,
事实上鉴于以上的思路取x=a-a-a-lna1lna1
,,0,,,
234x
均可例如例如令a+a-=得
…,,e(2)2,
■■
fa-a--a-=.x=|4-|
(3)>2(3)1>0■■,
xxxlna1
解析2fx=a2+a--x
()ee2e■■■■■■■■
-x-x此时f||4-||=|4-|-|4-|
>2e,■ln■a1■■2■a1■ln■a1■,
只需存在x使fx
0<0,(0)>0,利用xx可得
>ln,
取x=-有
0,■■
2||
-4-4-
f--2+a1>ln■a1■,
(2)>2e2>0,
■■■■■■■■
所以fx在|-1|||4-|||4-|
()■∞,lna■■ln■a1■■>ln■a1■>0,
■■■■
再证fx在|1+|上有且只有一所以fx在x|1+|上有且只有一个
(2):()■lna,∞■()0∈■lna,∞■
■■零点.
个零点即只需证明存在x|1+|使得
,0■,■,
∈lna∞小结本例中我们的目标是寻求函数值存在一
fx.
(0)个正值在函数具备单调性的条件下通过加强条
>0,,
解析1因为xx
,件合理缩小以后证明了x的存在性同时也找到
e>0
xx,,,
所以fx=a2+a--x
()e(2)
xxx,
a2a
+(-)-存在负值我们可以适当放大放大以后存在负值即
>e2ee,,
■■
=ax|x+-3|可.
e■e1a■,
解题的思维策略是通过合理放缩进行转化与化
x
只需+-3归减少参数的干扰或降低超越函数的复杂程度
e1a≥0,,,
拨云见雾化生为熟化繁为简逐步分析探究零
所以令x+-3=均可“”,,,
e1a0,1,2,3,…,,
x
xxxxx往往能够起到四
例如令+-3=得-+,
,e1a1,ln≤1<<1≤e
两拨千斤的作用.
x=3练****br/>lna,
x
(x)=(x-)+a(x-)2
■■2e1
此时f|3|a3=
■lna■·a·130,(a)有两个零点,求实数a的取值范围.
>>>0
x
■■(x)=x2-a,x,讨论该函
所以fx在|1+|>0
()■,■
lna∞数零点的个数.
xx
解析2fx=a2+a--xx
()e(2)(x)=(x-)-ax2+b,若
1e0<
=xax+a--x
e[e(2)],证明有且只有一个零点
xa1,ba,f(x).
注意到x<≤2
e>,2
·3·