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202212《》
􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
巧用二次根式非负性解题
王浩(山东省枣庄市台儿庄区明远实验小学)
277400
季百方(山东省枣庄市第十七中学)
277411
二次根式a中被开方数a是非负数即a注本题考查二次根式的性质与化简实数与
,(≥、
数轴解答本题的关键是明确题意利用数形结合的
二次根式a本身也是非负数即a如,,
0),(≥0),“
果几个非负数之和等于那么每个非负数都是思想解答.
0,0”,
例3已知a,b满足等式a2+a++
根据前面这个性质可以轻松地解决二次根式求值问69
.
b-1=,则a2021b2020=.
x0
例1要使代数式有意义,则的取值3
x分析利用非负数的性质以及二次根式的性
x-
4
范围为质得出ab的值进而得出答案.
.,,
分析根据二次根式的被开方数是非负数分解把已知等式化为
、
母不为列出不等式解不等式得到答案.
0,a+2+b-1=
解由题意得x-(3)0,
4>0,3
解得x根据实数的平方非负二次根式的值非负可知
>4,,
+2
>4(3)≥0,
注本题考查的是二次根式有意义的条件掌
,b-1
握二次根式的被开方数是非负数分母不为是解≥0,
、03
题的关键.
又a+2+b-1=
例2实数a,b在数轴上的位置如图所示,化(3)0,
13
所以a+2=
简|a+|-(b-)2+(a-b)2=.(),
1130
b-1=
0,
3
图所以a+=
130,
分析根据数轴可得-abb-1=
:1<<0,1<<0,
然后即可得到a+b-a-b从3
2,1>0,1>0,<0,解之得a=-
而可以将所求式子化简.,3,
b1
解由数轴可得=,
3
-ab所以ab
1<<0,1<<2,=-,
所以1
a+a2021b2020aab2020
1>0,=()
b-a-b
,,=-×-2020
1>0<03(1)
所以|a+|-b-2+a-b2=-.
1(1)()3
=a+-b-+b-a注此题主要考查了非负数的性质正确得出
1(1)(),
=a+-b++b-aab的值是解题的关键.
11,
=.(下转页)
24
·5·
数理天地初中版数学基础精讲年月上
《》202212
􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉􀪉
所以EP=EQEPFQ+=BNC=
,∥,∠2∠4∠45°,
因为AE=EF所以+=
,∠5∠690°,
所以APEFQE即AEF=.
Rt△≌Rt△(HL),∠90°
所以EAP=EFQ=PEF以上三种变式是在正方形的前提下探究线段
∠∠∠,,、
因为EAP+AEP=
∠∠90°,、
所以PEF+AEP=验大胆设想一下能否由正方形拓展到特殊的三角
∠∠90°,,:
即AEF=.形(如等边三角形)适当融入类似条件各元素之间还
∠90°,,
解法3以点E是线段存在一定的关联性与特殊性吗
“?
,ABC
”10△
如图延长ABFC交是等边三角形,AEF=,
9,,∠60°

,
因为ABC=BCDCF所在的直线于点F,当点E
∠∠
=DCH是BC的中点时,有AE=EF成图
∠10
=“点E是线段BC上
∠图
=9的任意一点”、“点E是线段BC延长线上的任意一
90°,
CF平分DCH点”、“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三
∠,
所以BCN=BNC=种情况中,任选一种情况,画出图形,并进行证明.
∠∠45°,

△,“”,

==,,
所以BC垂直平分AN讨论不仅对学生的知识掌握程度全面考查而且有
,,,

=,、
因为AEEF述抛砖引玉有兴趣的读者可以继续探究.
=,,,
所以ENEF显然教材例****题仅是一个例子一个引子也
=,,,,
所以==
∠1∠2,∠3∠4,,,,
因为=+=其应有的深度与广度深刻体会蕴含的数学思想及
∠5∠1∠22∠2,,
=+=方法.
∠6∠3∠42∠4,
􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍
(上接页)解之得a=b=
5,2,3,
例4已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b当三角形的腰长为时三边长为周长
2,2,2,3,
为
满足a-b++(a+b-)2=,则此等腰
235231307;
三角形的周长为()当三角形的腰长为时三边长为周长
3,3,3,2,
为
().()或..
A8B688
所以三角形的周长为或选.
().()或.,()
C7D7878D
注本题考查了等腰三角形的性质绝对值与
分析先根据非负数的性质列式求出ab的
,,
算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于
值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解.
,,0,
可知每一个算式都等于求出ab的值是解题的
解由已知及非负数的性质可得0,,
关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三
a-b+=,
2350,
边关系进行判断.
{a+b-=
23130,
·4·