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有理数基础知识
正数和负数
⒈正数和数的看法
数:比0小的数正数:比0大的数0既不是正数,也不是数
注意:①字母a能够表示任意数,当a表示正数,-a是数;当a表示数,-a是正数;当a表示0,
-a仍是0。(若是出判断:正号的数是正数,号的数是数,种法是的,比方+a,-a就不能够
做出判断)
②正数有也能够在前面加“+”,有“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

若正数表示某种意的量,数能够表示拥有与正数相反意的量,比方:
零上8℃表示:+8℃;零下8℃表示:-8℃

0表示“没有”,如教室里有0个人,就是教室里没有人;
⑵0是正数和数的分界,0既不是正数,也不是数。如:
有理数
有理数的看法
⑴正整数、0、整数称整数(0和正整数称自然数)
⑵正分数和分数称分数
⑶正整数,0,整数,正分数,分数都能够写成分数的形式,的数称有理数。
理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无量不循小数,不能够写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无量循小数都可化成分数,都是有理数。
注意:引入数今后,奇数和偶数的范也大了,像-2,-4,-6,-8⋯也是偶数,-1,-3,-5⋯也是奇数。

⑴按有理数的意分⑵按正、来分
正整数正整数
整数0正有理数
整数正分数
有理数有理数0(0不能够忽)
正分数整数
分数有理数
分数分数
:①正整数、0称非整数(也叫自然数)
②整数、0称非正整数
③正有理数、0称非有理数
④有理数、0称非正有理数
数轴
⒈数的看法
定了原点,正方向,位度的直叫做数。
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注意:⑴数轴是一条向两端无量延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不能;⑶同一数轴上的单位长度要一致;⑷数轴的三要素都是依照实质需要规定的。
数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都能够用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表
示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都能够用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的
点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
数轴上特其他最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0
a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0
数轴上点的搬动规律
依照点的搬动,向左搬动几个单位长度则减去几,向右搬动几个单位长度则加上几,从而获取所需的点的地址。
相反数
⒈相反数
只有符号不相同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。
注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不相同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它自己;相反数为自己的数是0。
相反数的性质与判断⑴任何数都有相反数,且只有一个;⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(
0
除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点;原点表示
0的相反数。
说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“
-”即可求得(如:5的相反数是-5);
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⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,尔后化简(如;5a+b的相反数是-(5a+b)。化简
得-5a-b);
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,尔后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)
相反数的表示方法
⑴一般地,数a的相反数是-a,其中a是任意有理数,能够是正数、负数或0。
当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

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多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,能够直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。

即:
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绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。

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⑴一个正数的绝对值是它自己;

⑵一个负数的绝对值是它的相反数;

⑶0的绝对值是

0.
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可用字母表示为:
①若是a>0,那么|a|=a;②若是a<0,那么|a|=-a;③若是a=0,那么|a|=0。
可归纳为①:a≥0,<═>|a|=a(非负数的绝对值等于自己;绝对值等于自己的数是非负数。
②a≤0,<═>|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。

)
)
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任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值拥有非负性。所以,a取任何有理数,都有
⑴0的绝对值是0;:a=0<═>|a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,:|a|≥0;
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;
⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。
(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

|a|

≥0。即
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有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数对照较,左边的总比右边的小;⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
绝对值的化简
①当a≥0时,|a|=a;②当a≤0时,|a|=-a
已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。
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有理数的加减法
有理数的加法法规⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;⑶互为相反数的两数相加,和为零;
⑷一个数与零相加,仍得这个数。
有理数加法的运算律
⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时,必然要依照需要灵便运用,以达到化简的目的,平时有以下规律:
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”;
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”;
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”;
④几个数相加获取整数,先相加——“凑整法”;
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

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一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加⑴当b>0时,a+b>a⑵当b<0时,a+b<a

0后的和等于原数。即:
⑶当b=0时,a+b=a
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减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:

a-b=a+(-b)

。
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有理数加减法一致成加法的意义
在有理数加减法混杂运算中,依据有理数减法法规,能够将减法转变为加法后,再依照加法法规进行计算。在和式里,平时把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法:①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
有理数加减混杂运算中运用结合律时的一些技巧:Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)
(将减法变换成加法)
=-33+18-15-1+23
(省略加号和括号)
=(-33-15-1)+(18+23)
(把符号相同的加数相结合)
=-49+41
(运用加法法规一进行运算)
=-8
(运用加法法规二进行运算)
Ⅱ.把和为整数的加数相结合
(凑整法)
(+)+(-)-(-)+(-)-(+)
原式=(+)+(-)+(+)+(-)+(-)
(将减法变换成加法)
(省略加号和括号)
=(-)+(--)+
(把和为整数的加数相结合)
=4-10+
(运用加法法规进行运算)
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=-10
(把符号相同的加数相合,并行运算)
=-
(得出)
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相合(同分母合法)
3-1+3-2+1-7
5
2
4
5
2
8
原式=(-
3-
2)+(-
1+1)+(+
3-
7)
5
5
2
2
4
8
=-1+0-1
1
8
=-1
8
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要一后再合(先一后合)
(+)-(-3
3)+(-3
1)-(-10
2)-(+)
4
8
3
原式=(+1)+(+3
3)+(-3
1)+(+102)+(-1
1)
8
4
8
3
4
=1+33-31+102-11
8
4
8
3
4
=(33-11)+(
1-31)+10
2
4
4
8
8
3
=21-3+102
2
3
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=-3+13
=101
6

1
6
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Ⅴ.把分数拆分后再合(先拆分后合)
-31
+10
6-12
1+47
5
11
22
15
原式=(-3+10-12+4)+(-
1+7)+(
6-
1)
5
15
11
22
=-1+4+11
1522
=-1+8+15
3030
7
30
.分合
2-3-4+5+6-7-8+9⋯+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+
⋯+(66-67-68+69)
=0
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Ⅶ.先拆后合
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1+3+5+7⋯+99)-(2+4+6+8⋯+100)
有理数的乘除法
有理数的乘法法
法一:两数相乘,同号得正,异号得,并把相乘;(“同号得正,异号得”指“两数相乘”的情况,若是因数超两个,就必运用法三)
法二:任何数同0相乘,都得0;
法三:几个不是0的数相乘,因数的个数是偶数,是正数;因数的个数是奇数,是数;
法四:几个数相乘,若是其中有因数0,等于0.
倒数
乘是1的两个数互倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示a·1=1(a≠0),就是a和1
aa
互倒数,即a是1的倒数,1是a的倒数。
aa
注意:①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把个分数的分子、分母点倒地址即可;求分数的倒数,先把分数
化假分数,再把分子、分母倒地址;
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③正数的倒数是正数,数的倒数是数。④倒数等于它自己的数是1或-1,不包括

(求一个数的倒数,不改个数的性)0。

;
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有理数的乘法运算律
⑴乘法交律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交因数的地址,相等。即ab=ba
⑵乘法合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,也许先把后两个数相乘,相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把个数分同两个数相乘,在把相加。即
a(b+c)=ab+ac

(1)除以一个不等0的数,等于乘以个数的倒数。
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(2)两数相除,同号得正,异号得,并把相除。

0除以任何一个不等于

0的数,都得

0
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1)乘除混杂运算经常先将除法化成乘法,尔后确定的符号,最后求出果。
2)有理数的加减乘除混杂运算,如无括号指出先做什么运算,依照‘先乘除,后加减’的序行。
有理数的乘方

求n个相同因数的的运算,叫做乘方,乘方的果叫做。在an中,a叫做底数,n叫做指数。

1)数的奇次是数,数的偶次的正数。
2)正数的任何次都是正数,0的任何正整数次都是0。
有理数的混杂运算
做有理数的混杂运算,注意以下运算序:
,再乘除,最后加减;
,从左到右行;
,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次行。
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科学记数法
把一个大于10的数表示成a10n的形式(其中1a10,n是正整数),这种记数法是科学记数法。
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