王式安考研概率强化讲义啊.docx

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王式安考研概率加强讲义啊
王式安考研概率加强讲义啊
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第一讲
随机事件和概率
考试要求:数学一、三、四要求一致。
认识:样本空间的观点
理解:随机事件,概率,条件概率,事件独立性,独立重复试验
掌握:事件的关系与运算,概率的基天性质,五大公式(加法、减法、乘法、全概率、
贝叶斯),独立性计算,独立重复试验就算
会计算:古典概率和几何型概率。
§1随机事件与样本空间
一、随机试验:E
(1)可重复(2)知道全部可能结果(3)没法预知
二、样本空间
试验的每一可能结果——样本点
全部样本点全体——样本空间
三、随机事件
-可编写改正-
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样本空间的子集——随机事件ABC
样本点——基本领件,随机事件由基本领件构成。
假如一次试验结果,某一基本领件出现——发生,出现
假如构成事件A的基本领件出现——A发生,A出现
——必定事件——不行能事件
§2事件间的关系与运算

包含,相等,互斥,对峙,完整事件组,独立
:
并,交,差
运算规律:互换律,联合律,分派律,对偶律
概率定义,会合定义,记号,称法,图

例2从一批产品中每次一件抽取三次,用Ai(i1,2,3)表示事件:
“第二次抽取到的是正品”试用文字表达以下事件:
(1)A1A2
A2A3A1A3;
(2)A1A2A3;
(3)A1
A2A3;
(4)A1A2A3A1A2A3
A1A2A3;
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再用
A1,A2,A3表示以下事件:
(5)
都取到正品;
(6)
起码有一件次品;
(7)
只有一件次品;
(8)
取到次品不多于一件。
§3概率、条件概率、事件独立性、五大公式
,A,P
(1)P(A)0
(2)P()1
(3)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)AiAj,ij

(1)P()0
(2)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)AiAj,ij
P(A)1P(A)
(4)
A
B,P(A)
P(B)
(5)
0
P(A)1

(1)
P(A)
0,P(BA)
P(AB),事件A发生条件下事件
B发生的条件概率;
P(A)
(2)
P(AB)
P(A)P(B),事件A,B独立,
A,B独立
A,B独立
A,B独立
A,B独立;
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-可编写改正-
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P(A)
0时,A,B独立P(B
A)
P(B);
(3)P(Ai1
,Ai2,
,Aik)P(Ai1)P(Ai2
)
P(Aik)
1i1
i2
ikn
称A1,A2,
An互相独立,(Cn2
Cn3
Cnn
2n
n
1个等式)
互相独立
两两独立。

加法公式:P(AB)P(A)P(B)P(AB)
P(A
BC)P(A)
P(B)
P(C)P(AB)P(BC)P(AC)
P(ABC)
P(A1
A2
...An)
(2)
减法公式:PA
B
PA
PAB
(3)
乘法公式:P(A)
0,P(AB)
P(A)P(BA)
P(A1A2...An1)
0时,P(A1A2...An)
P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)
P(An
A1A2...An1)
(4)
全概率公式:
B1,B2...,Bn是完整事件组,且
P(Bi)
0,i
1,n
n
P(A)
i1
P(Bi)P(ABi)
(5)
贝叶斯公式:
B1,B2,...,Bn是完整事件组,
P(A)
0,P(Bi)
0,i
1,,n
P(Bj)P(ABj)
P(BjA)nj1,2,...,n
P(Bi)P(ABi)
i1
§4古典型概率和伯努利概率
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P(A)nAA所包含的样本点数
样本点总数

L(
A)
A的几何胸怀
P(A)
)
的几何胸怀
L(

独立——各试验间事件独立,重复——同一事件在各试验中概率不变

试验只有两个结果A和A——伯努利试验
重伯努利试验
二项概率公式CnkPk(1P)nkk0,1,...n,P(A)p
§5典型例题剖析
,B为两事件,且知足条件ABAB,则P(AB)_______________.
,B为任意两事件,则事件
(AB)(B
C)等于事件
AAC
B
A(BC)
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C(AB)CD(AB)BC
,B,知足P(A)
1
和P(AB)
1则有
P(B)
2
A
AB
B
AB
C
P(AB)1
DP(AB)0

P(P(B)A)1且P(BA)P(BA)
1
则必有
A
P(AB)
P(AB)
B
P(AB)P(AB)
C
P(AB)
P(A)P(B)
DP(AB)P(A)P(B)
例5.(06)设A、
B为随机事件,且P(B)
0
,P(AB)
1,则必有
A
P(A
B)
P(A)
B
P(A
B)
P(B)
C
P(A
B)
P(A)
D
P(A
B)
P(B)
,假如P(A)0,则有
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P(B|A)1
P(B)
)
P(A)
,第一盒中装有2个红球,1个白球;第二盒中装一半红球,一半白球,现从两盒中各任取一球放在一同,再从中取一球,问:
1)这个球是红球的概率;
2)若发现这个球是红球,问第一盒中拿出的球是红球的概率。
:第一箱内装50件,此中10件一等品;第二箱内装30件,
此中18件一等品,现从两箱中任意挑出一箱,而后从该箱中先后随机拿出两个零
(不放回)试求:
1)先拿出的部件是一等品的概率p;
2)在先取的部件是一等品的条件下,第二次拿出的部件仍为一等品的条件概率
.
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,分有放回和无放回两种状况连续随机每次一个地抽取,求以下事件的概率:
(1)
从袋中拿出的第
k个球是白球(1k
)
(2)
从袋中拿出a
b个球中,恰含a个白球和b个黑球(a,b)
(x,y)0y2ax
x2
(此中a
0,是常数)内掷一点,则
原点和该点的连线与x轴的夹角小于
的概率为____________。
4
,每次试验成功的概率为p,求在第n次成功以前恰失败了m次
的概率。
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,在已知前两封信放入不一样邮筒的条件下,求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_____________。
,B,C三事件中
A与B互相独立,
P(C)0,则A,B,C三事件
A
互相独立
B
两两独立,但不必定互相独立
C
不必定两两独立
D
必定不两两独立

3台二等品,现已售出
1台,在余下的
9台中任取
2台发现均
为一等品,则原来售出
1台为二等品的概率为
A
3
B
2
C
2
D
3
10
8
10
8
,乙袋中全部是白球,今从甲袋中任取2球,从乙袋中
任取1球混淆后,从中任取1球为白球的概率
1234
ABCD
5555
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,今从中任取两件,已知此中有一件是次品,求另一件也是次品的概率。
,随机抽用,每次一根,求当一盒用完时,另一盒还有R根的概
率。(RN)
例18.(05)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,2,,X中任取一个
数记为Y,则P(Y2)_____________。
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