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考研数学学****心得1
高数定理证明之微分中值定理:
这一局部内容比拟丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个:1。f”(x0)存在2。f(x0)为f(x)的极值,结论为f”(x0)=0。考虑函数在一点的导数,用什么方法自然想到导数定义。我们可以根据导数定义写出f”(x0)的极限形式。往下如何推理关键要看其次个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)—f(x0)0),对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数局部表达式,不难想到考虑函数局部的正负号。若能得出函数局部的符号,如何得到极限值的符号呢极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要争论的罗尔定理。若在微分中值定理这局部推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比拟熟识。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解,需仔细体会:条件怎么用如何和结论建立联系固然,我们现在争论该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解把握。假如在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。
闲言少叙,言归正传。既然我们争论费马引理的作用是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们比照这两个定理的结论,不难发觉是全都的:都是函数在一点的导数为0。话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。大方向对,但过程没这么简洁。起码要说清一点:费马引理的条件是否满意,为什么满意
前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难推断是成立的,那么“取极值”呢好像不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。留意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢不难想到最值定理。
那么最值和极值是什么关系这个点需要想清晰,由于直接影响下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种状况争论即可:若最值取在区间内部,此种状况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,留意到已知条件第三条告知我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在开区间上任取一点都能使结论成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。把握这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中直接考过拉格朗日定理的证明,若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过程中表达出来的根本思路,适用于证其它结论。
以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们比照一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造帮助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后,把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查:依据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。固然,构造帮助函数远比破案要简洁,简洁的题目直接观看;简单一些的,可以把中值换成x,再对得到的函数求不定积分。
高数定理证明之求导公式:
xx真题考了一个证明题:证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比拟熟识,而对它怎么来的较为生疏。实际上,从授课的角度,这种在xx年前从未考过的根本公式的证明,一般只会在根底阶段讲到。假如这个阶段的考生带焦急功近利的心态只关注结论怎么用,而不关怀结论怎么来的,那很可能从未仔细思索过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。这里给xx考研学子提个醒:要重视根底阶段的复****那些真题中未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。
固然,该公式的证明并不难。先考虑f(x)x(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以根据导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法则,由于分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由x0的任意性,便得到了f(x)x(x)在任意点的导数公式。
高数定理证明之积分中值定理:
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把积分变量x换成中值。如何证明可能有同学想到用微分中值定理,理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以根据此思路往下分析,不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理),理由更充分些:上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数,而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证,那么究竟选择哪个定理呢这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间,而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从,已经不言自明白。
若顺当选中了介值定理,那么往下如何推理呢我们可以比照一下介值定理和积分中值定理的结论:介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值,而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度,就能到达我们的要求。固然,变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的,要透过现象看本质,看清晰定积分的值是一个数,进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理,这就考察各位对介值定理的熟识程度了。该定理条件有二:1。函数在闭区间连续,2。实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间,结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难推断,仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围,不难想到比拟定理(或估值定理)。
高数定理证明之微积分根本定理:
该局部包括两个定理:变限积分求导定理和牛顿—莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续,结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉,并用积分上限替换被积函数的自变量。留意该求导公式对闭区间成立,而闭区间上的导数要区分对待:对应开区间上每一点的导数是一类,而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵,各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简,笔者就不能剥夺读者思索的权利了。单侧导数类似考虑。
“牛顿—莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁,它是微积分中最根本的公式之一。它证明白微分与积分是可逆运算,同时在理论上标志着微积分完整体系的形成,从今微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿—莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能娴熟运用该公式计算定积分。不过,提起该公式的证明,熟识的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续,该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数,结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立,则不难推断变限积分求导定理的条件成立,故变限积分求导定理的结论成立。
留意到该公式的另一个条件提到了原函数,那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下,即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。依据原函数的概念,我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数,所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备,只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形,不难得出结论。
考研数学学****心得2
考研数学复****失分的缘由
填空题失分点
(1)考察点:填空题比拟多的是考察根本运算和根本概念,或者说填空题比拟多的是计算。
(2)失分缘由:运算的精确率比拟差,这种填空题出的计算题题本身不难,同学们出错的缘由主要是不够细心。
(3)对策:这就要求同学们复****的时候些根本的运算题不能只看不算。同学们平常对一些根本的运算题也要仔细解答,要在每一种类型的计算题里面拿出肯定量进展练****br/>选择题失分点
(1)考察点:
选择题一共有八道题,这局部丢分的缘由跟填空题出错缘由有差异,选择题考的重点跟填空题不一样,填空题主要考根本运算概念,而选择题很少考计算题,它主要考察根本的”概念和理论,主要是简单混淆的概念和理论。
(2)失分缘由:
首先,有些题目的确具有肯定的难度。其次,有些同学在复****过程中将重点放在了计算题上,而无视了根底学问,导致根底学问不扎实。最终,缺乏肯定的方法和技巧。由于对这种方法不了解,用常规的方法做,使简洁的题变成了简单的题。
(3)对策:
第一,根本理论和根本概念是薄弱环节的同学,就必需在这下功夫,复****一个定理一共性质的时候,即要留意它的内涵又要留意相应的外延。平常在复****的时候要留意根本的概念和理论。
其次,客观题有一些方法和技巧,通常做客观题用直接法,这是用得比拟多的,但是也有一些选择题用排解法更为简洁,考研的卷子里边有许多题用排解法一眼就可以看出结果,所以要留意这些技巧。
计算题失分点
(1)考察点:
计算题在整份试卷中占绝大局部,还有一局部是证明题,计算题就是要解决计算的精确率的问题。
(2)失分缘由:
运算的精确率比拟差。
(3)对策:
首先,多做练****是关键。根本的运算必需要练熟,数学跟复****政治英语不一样,数学不是完全靠背,要理解以后通过肯定的练****把握方法,并且肯定自己要实践。其次,还有一类题就是证明题,假如出了证明题一般来说这局部就是难点。证明题里面有几个难点的地方是常常考察的地方,同学们复****的时候要留意学问难点的规律和使用方法。
建议大家从复****初期就开头为自己预备两个笔记本,一本用于特地整理自己在复****当中遇到过的不懂的学问点,并且将一些简单出错、简单发生混淆的概念、公式、定理内容记录在笔记本上,定期拿出来看一下,这样,肯定会留下特别深刻的印象,避开遗忘出错。
另一本用来整理错题,同学们在复****全程中会遇到很多很多不同类型的题目,对自己曾经不会做的、做错了的题目不要看过标准答案后就轻易放过,应当准时地把它们整理一下,在正确解答过程的后面简洁标注一下自己出错的缘由、不会做的症结,以后再回头看的时候肯定会起到很大的帮忙,这也是循序渐进稳步提高解题力量的关键环节。
考研数学学****心得3
考研初试数学答题的方法和技巧
首先是确定做题挨次,可以采纳填空、计算、选择、证明的挨次。由于尽管选择题的分数相对要少一些,但它们一般对根底学问要求较高,选项迷惑性大,有时需要花许多时间去分析也难以取舍;
而且有些选择题的计算量也是很大的,假如在做题的开头就感觉不顺而花太多时间的话,会影响考试的心理状态。证明题考察的是严密的规律推理,难度也比拟大。因此,建议这两类题型可以放在后面做,而先做相对简洁的。
一般来说,平常复****的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数,而正式考试时,先通观整个试卷,快速客观地评估自己的实力,明确哪些分数是必得的,哪些是可能得到的,哪些是根本得不到的,再实行不同的应对方式,才能镇静自若,进退有据,最终从整体上获胜。
同学们可以先解答填空题,一般讲填空题是根本概念,根本运算题,得分比拟简单,固然试题中计算题或者证明题以平常看书或者参与辅导班教师所讲的例题类似的也可以先做;其次做计算题;最终解单项选择题,由于有些单项选择题概念性特别强,计算技巧也比拟高,求解单项选择题一般有以下几种方法:
(1)推演法:它适用于题干中给出的条件是解析式子。
(2)图示法:它适用于题干中给出的函数具有某种特性,例如奇偶性、周期性或者给出的大事是两个大事的情形,用图示法做就显得非常简洁。
(3)举反例排解法:排解了三个,第四个就是正确的答案,这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函数的状况。
(4)逆推法:所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确,然后做逆推,假如得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果冲突,则否认这个备选答案。
(5)赋值法:将备选的一个答案用详细的数字代入,假如与假设条件或众所周知的事实发生冲突则予以否认。
做选择题的时候,考生可以奇妙地运用图示法和赋值法。这两种方法很有效。同学们平常用得许多,但许多人进考场一紧急就忘了,而用一些常规方法去硬算,结果既铺张了时间又简单出错。