衡水中学高一新生作业：初高中教材衔接之因式分解与二次函数.doc

衡水中学初高中教材衔接之因式分解与二次函数
专题一完全立方、立方和及立方差公式
同学们,在初中我们已经学****了平方差公式,完全平方公式,相信你能完成下列问题:
(1)
(2)
(3)
??
我们知道
用代替易得
这样,我们就得到了两个完全立方公式
类比上面的过程由以下两个式子我们又可以得到什么公式?
(1)
(2)
由思考我们可以得到下列公式
立方差公式
立方和公式
逆过来我们又得到了一组公式
化简:
分析:根据和的立方公式把展开,化简即可
解:
,求的值。
解:=

解:法一:
法二:

利用完全平方公式展开得到
,求的值。
解:∵
∴,则
,求(1);(2)
解:,两边平方得,化简得
对,两边同时平方得,所以
展开下列各式:
(1) (2) (3)
:
(1) (2) (3)
,,求(1) (2) 的值。
,求值:(1);(3)
,则m的值为( )
A .4
( )
A. B. C. D.
,求的值是( )

,y为何值时,的值( )

( )
A. B. C. D.
=
,则的值是
(a为常数),则
:
(1)
(2)
,求证:
,其中
,求;
:为正有理数,且满足,求证:
,求的值
专题二因式分解
在初中我学****了简单的因式分解,你还记得什么是因式分解吗?多项式的乘法和多项式的因式分解有什么区别与联系?
在回忆这些知识的基础上,试将下列的多项式进行因式分解:
1. x2-2xy+y2=( )
-4=( )( );
3.=( )( )( )
4.( )( )
把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式叫做多项式的因式分解,也叫做将多项式分解因式。
从上面的例子可以看到:多项式的因式分解过程与多项式的乘法过程是互逆的变形过程。初中已经学****过因式分解的两种基本方法:提取公因式和公式法。下面我们来学****另外两种非常重要的方法:分组分解与十字相乘
一、分组分解
如何把多项式进行因式分解?
(1)定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如没有公因式,又不能直接利用公式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提取公因式,即可达到分解因式的目的。例如:
,
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
(2)原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。
(3)有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。
:
(1) (2)
【分析】使用分组分解法的关键在于如何恰当的分组,目的是在分组后进行恰当的变形为使用提取公因式和公式法创造条件。
解

【思考】上面两个例题除了给出的分组形式外还有其他的分组形式吗?
:
(1) (2)
分析:所给的多项式无法提取公因式时,可以适当的添加或者把某些项拆成两项,从而达到分解因式的目的。
解:(1)方法一:
方法二:
(2) 原式
【思考】上面两个例子还有其他的添项拆项方法吗?
二、十字相乘法
多项式能用上面的方法因式分解吗?分解后各因式的系数和原多项式的系数有什么样的关系?
我们知道,反过来,就得到二次三项式的分解因式,即=
为方便起见,将系数和常数项的关系写成交叉表示图:
1 2
1 3


想一想:这里( 系数), ( 系数), ( 系数)
一般地,由多项式乘法
反过来,就得到=
为方便起见,将系数和常数项的关系写成交叉表示图
1
1


综上:
二次项系数为1的二次三项式中,如果能把常数项分解成两个因式的积,并且等于一次项系数中,那么它就可以分解成
例3. 利用十字相乘法将下列各式分解因式:
(1) (2)
(3) (4)
【分析】按照十字相乘法的规则分解二次项和常数项有:
1 1 1
1 2 1
(1) (2)
1 3 1 5
1 1
(3) (4)
解:(1)= (2)=
(3)= (4)
【注意】利用十字相乘对二次三项式分解因式,应注意的是:二次项及常数项的分解不是唯一的,所以使用时往