方案设计问题.docx

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方案设计型题是通过设置一个实际问题情景,给出假设干信息,提出解决问题的要求,要求学生运用学过的技术和方式,进展设计和操作,,、作图方案设计和经济类方案设计等.
题型之一 利用方程、不等式进展方案设计
销售时段
第一周其次周
销售数量
A种型号3台
4台
销售收入
B种型号
5台
10台
1800元
3100元
例1 (2023·益阳)某电器超市销售每台进价别离为200元、170元的A、B两种型号的电扇,下表是近两周的销售情形:
(进价、售价均维持不变,利润=销售收入-进货本钱)(1)求A、B两种型号的电扇的销售单价;
假设超市预备用不多于5400元的金额再选购这两种型号的电扇共30台,求A种型号的电扇最多能选购多少台?
在(2)的条件下,超市销售完这30台电扇可否实现利润为1400元的目标,假设能,请给出相应的选购方案;假设不能,请说明理由.
【思路点拨】(1)依据“3台A型+5台B型”的销售收入=1800和“4台A型+10台B型”的销售收入=3100,列方程组得各自售价;
(2)设购进A型a台,则B型(30-a)台,利用金额不超过5400成立不等式求解;(3)依据(2)中30台得利润为为1400,成立方程,求解.
【解答】(1)设A、B两种型号电扇的销售单价别离为x元、,得
ì3x+5y=1800, ìx=250,
í4x+10y=3100解得íy=210.
î . î
答:A、B两种型号电扇的销售单价别离为250元、210元.
(2)设选购A种型号电扇a台,则选购B种型号电扇(30-a),得200a+170(30-a)≤5400,解得a≤10.
答:超市最多项选择购A种型号电扇10台时,选购金额不多于5400元.(3)依题意有:
(250-200)a+(210-170)(30-a)=1400,解得a=20,
现在,a>10.
即在(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标.
方式归纳:列方程(组)或不等式组设计方案问题的关键是找到题目中的等量关系或不等关系,然后依据结果设计方案.
1.(2023·自贡)某校住校生宿舍有大小两种寝室假设干间,据统计该校高一年级男生740人,利用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,利用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满.
求该校的大小寝室每间各住多少人?
推测该校今年招收的高一生中有很多于630名女生将入住寝室80间,问该校有多少种安排住宿的方案?
2.:用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;,打算同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都装满货物.
依据以上信息,解答以下问题:
〔1〕1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可别离运货多少吨?
请你帮该物流公司设计租车方案;
假设A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/,并求出最少租车费.
3.(2023·衡阳)某班组织班团活动,,中性笔1元/支,且每种奖品至少买一件.
(1)假设设购置笔记本x本,中性笔y支,写出y与x之间的关系式;(2)有多少种购置方案?请列举全部可能的结果;
(3)从上述方案中任选一种方案购置,求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率.
题型之二利用函数进展方案设计
例2(2023·桂林)在“秀丽广西,清洁乡村”活动中,李家村村长提出两种购置垃圾桶方案:方案1:买分类垃圾桶,需要费用3000元,以后每一个月的垃圾处置费用250元;方案2:买不分类垃圾桶,需要费用1000元,以后每一个月的垃圾处置费用500元;设方案
1的购置费和每一个月垃圾处置费共为y元,设方案2的购置费和每一个月垃圾处置费共为
1
y元,交费时刻为x个月.
2
直接写出y、y与x的函数关系式;
1 2
在同一坐标系内,画出函数y、y的图象;
1 2
在垃圾桶利用寿命一样的情形下,哪一种方案省钱?
【思路点拨】(1)依据题意可直接写出y与x的函数关系式;(2)别离过两点画图象;
(3)依据图象取得方案.
【解答】(1)y=250x+3000,y=500x+1000.
1 2
如图:
由(2)适当x>8时,方案1省钱;当x=8时,两种方案一样;
当x<8时,方案2省钱.
方式归纳:运用一次函数推断何种方式更合算,通常常利用分类争论的方式列出方程和不等式,求自变量取值范围,但假设是题目中有画好的函数图象,也能够直接观看图象解决.
,现有两种运输方式可供选择:
方式一:利用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每千米再加收4元;方式二:利用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每千米再加收2元.
请别离写出邮车、火车运输的总费用y,y(元)与运输路程x(千米)之间的函数关系;
1 2
你以为选用哪一种运输方式较好,为何?
2.(2023·凉山)我州某校打算购置甲、
25元,乙种树苗每株30元,通过调查了解,甲、乙两种树苗的成活率别离是90%和95%.
(1)假设购置这两种树苗共用去28000元,则甲、乙两种树苗各购置多少株?(2)要使这批树苗的成活率不低于92%,则甲种树苗最多购置多少株?
(3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购置树苗的费用最低?并求出最低费用.
,预订宾馆住宿时,有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择,其收费标准均为每人每天120元,而且各自推出不同的优待方案:甲家是35人(含35人)之内的按标准收费,超过35人的,超出部份按九折收费;乙家是45人(含45人)之内的按标准收费,超过45人的,,你应选哪家宾馆更实惠些?
污水处理设备
价格(万元/台)
月处理污水量(吨/台)
A型
m220
B型
m-3180
4.(2023·丽水)为了保护环境,某开发区综合治理指挥部打算购置A,,每台设备价钱及月处置污水量如下表所示:
求m的值;
由于受资金限制,指挥部用于购置污水处置设备的资金不超过165万元,问有多少种购置方案?并求出每一个月最多处置污水量的吨数.
题型之三图形问题中的方案设计
名称
四等分圆的面积
例3(2023·济宁)在数学活动课上,王教师发给每位同窗一张半径为6个单位长度的圆形纸板,要求同窗们:(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具,把圆形纸板分成面积相等的四部份;(2),请你用所学的学问再设计两种方案,并完成下面的设计报告.
方案
选用的工具画出示意图
方案一
带刻度的三角板
方案二
方案三
简述设计方案
指出对称性
作⊙O两条相互垂直
的直径AB、CD,将
⊙O的面积分成相等的四份.
既是轴对称图形又
是中心对称图形
【思路点拨】方案二:由题意得分割成的一部份面积为9π,故在圆心O处以3个单位长度为半径作圆,然后将圆环三等分即可;方案三:作出圆的直径AB,别离画两个半径为3个单位长度的小圆即可.
【解答】
名称
方案 方案一

方案二
四等分圆的面积

方案三
选用的工具画出示意图
带刻度的三角板
带刻度三角板、量角器、圆规. 带刻度三角板、圆规.
简述设计方案作⊙O两条相互垂
直的直径AB、CD,将⊙O的面积分成相等的四份.
指出对称性 既是轴对称图形
又是中心对称图形
〔1〕以点O为圆心,以3个单位长度为半径作圆;〔2〕在大
⊙O上依次取三等分点A、B、C;(3)连接OA、OB、⊙O的面积四等分.
轴对称图形
作⊙O的一条直径AB;(2)分别以OA、OB的中点为圆心,以3个单位长度为半径作⊙O1、⊙O2;(3)则⊙O1、⊙O2和⊙O中剩余的两局部把⊙O的面积四等分.
既是轴对称图形又是中心对称图形.
方式归纳:图形方案设计问题通常先给出一个图形(可能是规章的也可能是不规章的),、角度的大小、面积公式等进展分割.
某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建筑一个四边形花园,要求花园所占面积是□ABCD面积的一半,而且四边形花园的四个极点作为出入口,要求四点极点别离在□ABCD的四条边上,请你设计两种方案:
方案(1):如图1所示,两个出入口E,F已确定,请在图1上画出符合要求的四边形花园,并简要说明画法;
方案(2):如图2所示,一个出入口M已确定,请在图2上画出符合要求的梯形花园,并简要说明画法.
2.(2023·拱墅模拟)请用直尺和圆规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形,且菱形的四个极点都在矩形的边上,面积一样的图形视为同一种.(保存作图痕迹).
题型之四测量问题中的方案设计
例4如图,EF是一条笔直的河岸,A村与B村相距4千米,A,B两村到河岸EF的距离别离是5千米,3千米,现要在河岸EF上选一地址C建一个自来水厂,并铺设水管把水引至A,B两村.
问:如图1,图2,图3所示的三条铺设水管的路径(图中实线部份)哪条最短?并说明理由.
【思路点拨】图1,图2中铺设水管路径长都能够一眼看出,在图3中由对称性可得:BC=B′C,AB′=BC+AC,以AB′为斜边构造一个直角三角形(要求直角边平行EF或垂直EF),假设再能求出A,B两村的垂直距离,问题就不难解决了.
【解答】图1:4+5=9〔千米〕;图2:3+4=7〔千米〕;
图3:BC=B′C,过B′作B′M∥EF,过A作AN∥BB′交B′M于D,则组成Rt△ADB′.B′D=23,
∴AB′=76.
∵7<76<9,∴图2的路径最短.
方式归纳:这是一道推断方案题,题中给出了三种不同方案,由同窗们依据所学图形与空间的学问按题中要求选择方案.
某高速铁路马上开工,,一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向,测量员从A点开头沿岸边向正东方向前进100米抵达点C处,测得∠ACB=68°.
求所测的地方江的宽度(sin68°≈,cos68°≈,tan68°≈;
除(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图2中画出图形.
恩施州自然风光无穷,特地是以“雄、奇、秀、幽、险”(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速大路x同侧,AB=50km,A、B到直线x的距离别离为10km和40km,要在沪渝高速大路旁修建一效劳区P,向A、,图1是方案一的示用意(AP与直线x垂直,垂足为P),P到A、B
的距离之和s=PA+PB,图2是方案二的示用意(点A关于直线x的对称点是A′,连接BA′
1
交直线x于点P),P到A、B的距离之和s=PA+PB.
2
求s、s,并比较它们的大小;
1 2
请你说明s2=PA+PB的值为最小;
恩施到张家界高速大路y与沪渝高速大路垂直,成立如图3所示的直角坐标系,B到直线y的距离为30km,请你在x旁和y旁各修建一效劳区P、Q,使P、A、B、.
参考答案
题型之一利用方程、不等式进展方案设计
1.(1)设该校大寝室每间住x人,小寝室每间住y人,则
ì55x+50y=740,
í
ìx=8,
解得í
î50x+55y=730. îy=6.
答:该校大寝室每间住8人,小寝室每间住6人.(2)设应安排小寝室z间,则有
6z+8(80-z)≥630,解得z≤5.
∵z为自然数,∴z=0,1,2,3,4,:共有6种安排住宿方案.
2.〔1〕设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可别离运货x吨、y吨,依据题意,得
í
ì2x+y=10,
îx+2y=11.
ìx=3,
=
解得í
îy 4.
答:1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可别离运货3吨、4吨.
〔2〕依据题意可得3a+4b=31.
由于租车数a,b都是自然数,使a,b都为整数的情形共有a=1,b=7或a=5,b=4或a=9,b=1三种情形.
故租车方案别离为:
①A型车1辆,B型车7辆;
②A型车5辆,B型车4辆;
③A型车9辆,B型车1辆.
〔3〕方案①花费为100×1+120×7=940(元);方案②花费为100×5+120×4=980(元);
方案③花费为100×9+120×1=1020(元).
故方案①最省钱,即租用A型车1辆,.(1)y=15-2x;
设笔记本和中性笔两种奖品各a,b件,则a≥1,b≥1,2a+b=15.
当a=1时,b=13;当a=2时,b=11;当a=3时,b=9;当a=4时,b=7;当a=5时,b=5;当a=6时,b=3;当a=7时,b=;
买到的笔记本和中性笔数量相等的购置方案有1种,共有7种购置方案.
1 1
∵1÷7=
,∴买到的笔记本和中性笔数量相等的概率为.
7 7
题型之二利用函数进展方案设计
1.(1)由题意得,y=4x+400,y=2x+820.
1 2
(2)当y=y时,4x+400=2x+=210.
1 2
∴当运输路程小于210km时,y<y,选择邮车运输较好;
1 2
当运输路程等于210km时,y=y,选择两种方式一样;
1 2
当运输路程大于210km时,y>y,选择火车运输较好.
1 2
2.(1)设购甲种树苗x株,乙种树苗y株,则
ìx+y=1000, ìx=400,
=
í25x+30y=28000解得íy 600.
î . î
答:购甲种树苗400株,乙种树苗600株.
设购置甲种树苗z株,则乙种树苗(1000-z)株,列不等式:90%z+95%(1000-z)≥92%×1000,解得z≤600.
答:甲种树苗最多购置600株.
设购置树苗的总费用为w元,则w=25z+30(1000-z)=-5z+30000.
∵-5<0,∴w随z的增大而减小.
∵0<z≤600,∴当z=600时,w最小值为30000-5×600=27000(元).
答:当购甲种树苗600株,乙种树苗400株时,总费用最低,最低费用是27000元.
设有x(x>0)名教师到外地进展学****甲宾馆费用为y甲,乙宾馆费用为y乙,当x>45时,由题意,得
y甲=120×35+(x-35)×120×90%=108x+420;
y=120×45+(x-45)×120×80%=96x+1080.
乙
分三种情形:
①当y>y时,108x+420>96x+>55;
甲 乙
②当y=y时,108x+420=96x+=55;
甲 乙
③当y<y时,108x+420<96x+<x<55.
甲 乙
当x≤45时,又分两种情形:
①当0<x≤35时,y=y=120x;
甲 乙
②当35<x≤45时,y=108x+420,y=120x.
甲 乙
现在y<y.
甲 乙
综上所述当人数大于55人时选乙宾馆,当人数大于0小于等于35人或等于55人时甲乙宾
馆都可,.(1)依据题意,得
90 75
m=m3,解得m=18.
经查验,m=18是所列方程的解,:m的值为18.
(2)由(1)可知,A型号的污水处置设备每台18万元,,则
18x+15(10-x)≤165,解得x≤5.
又∵0<x<10,且x为整数,∴x可取0,1,2,3,4,5,,则
w=220x+180(10-x)=40x+1800.
∵w随x的增大而增大,
∴当x=5时,w有最大值,其最大值为2000.
即购置A型号、B型号的污水处置设备别离为5台、5台时,月处置的污水量最多,为2000吨.
题型之三图形问题中的方案设计
(1):
画法1〔如图甲):①过F作FH∥AB交AD于点H.
②在DC上任取一点G,连接EF,FG,GH,HE,〔如图乙):①过F作FH∥AB交AD于点H.
②过E作EG∥AD交DC于点G,连接EF、FG、GH、HE,〔如图丙):①在AD上取一点H,使DH=CF.
②在CD上任取一点G,连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH就是所要画的四边形.
方案(2):
画法〔如图2):①过M点作MP∥AB交AD于点P.
②在CD上取一点N,连接MN.
③过点P作PQ∥MN交AB于点Q,连接QM,.