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排列组合常见题型及解题策略难
小学排列组合常见题型及解题策略
:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数
【例1】
(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法
【解析】:(1)(2)(3)
【例2】把6名实****生分配到7个车间实****共有多少种不同方法?
【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实****生分配到车间有7种不同方案,
第二步:将第二名实****生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有种不同方案.
【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()
A、B、C、D、
【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠
军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有种
不同的结果。所以选A
:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例1】五人并排站成一排,如果必须相邻且在的右边,那么不同的排法种数有
【解析】:把视为一人,且固定在的右边,则本题相当于4人的全排列,种
【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()

【解析】:间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,种
其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有288
:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为种,再用甲乙去插6个空位有种,不同的排法种数是种
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不同的插法(具体数字作答)
【解析】:
【例3】高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
【解析】:不同排法的种数为=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工
程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,
则该晚会的节目单的编排总数为种.
【解析】:
【例6】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的
二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
【解析】:解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A,○*○*○*○,在四个空
中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A种,所以每个人左右两边都空位的排法有
=24种.
解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有A=24种.
【例8】停车场划出一排12个停车位置,,不同的停车方法有多少种?
【解析】:先排好8辆车有A种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9
个空档中任选一个,将空车位置插入有C种方法,所以共有CA种方法.
注:题中*表示元素,○表示空.
(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元
素;再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()

【解析】:方法一:从后两项工作出发,采取位置分析法。
方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有
选法,共有选法36种,选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
【解析】:老师在中间三个位置上选一个有种,4名同学在其余4个位置上有种方法;所以共有种。.
【例3】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
【解析】法一:法二:法三:
:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例1】(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
(A) (B)(C) (D)
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共种,选.
(2)答案:C
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种,其余5个元素任排5个位置上有种,故共有种排法.
(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例1】.五人并排站成一排,如果必须站在的右边(可以不相邻)那么不同的排法种数是()
【解析】:在的右边与在的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即种
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同的插法?
【解析】:法一:法二:
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法
【解析】:法一:法二:
(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6种B、9种C、11种D、23种
【解析】:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9
种填法,选.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()
A10种B20种C30种D60种
答案:B
【例3】:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,
则4张贺年卡不同的分配方式共有()
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有种分配方式。故选(B)
【例4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()
(A)60种 (B)44种 (C)36种 (D)24种
答案:B
(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?