人教版高中数学必修一函数知识点精简版.docx

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函数的概念
1、函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确
定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→:y=f(x),x∈A.
【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5),它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;(2)表达式相同(两点必须同时具备)
注意:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
4、函数图象知识(Ⅰ)对称变换①将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
x
1
②y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如
xx
ya与ya
a
③y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如
ylogx与ylogxlogx
aa1
a
6、函数的解析式A、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配
;
C、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
(小)值
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间;
【注意】(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))。
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)
的单调性密切相关,其规律如下:同增异减
4、判断函数的单调性常用的结论
⑤函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)g(x)仍是增(减)函数;
⑥若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)gg(x)也是增(减)函数;
若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)gg(x)也是减(增)函数;
5、函数的最大(小)值定义
(ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2利用图象求函数的最大(小)值○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
函数的奇偶性
1、偶函数定义一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
【注意】②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是即定义域关于原点对称.
3、有奇偶性的函数图象特征:偶函数的图象关于y轴对称;(0)=0(在原点处有意义
时)
4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;同理则
是奇函数.
5、函数奇偶性的性质①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数是怎样的?
⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

1、根式的概念:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n0=0.
nana(2)当n是奇数时,nana,当n是偶数时,
【注意】(1)()
nna,a0
a|a|
a,a0
m
nm
2、分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义,规定:(0,,,1)
n
aaamnN且n
(2)正数的正分数指数幂的意义:
m
_1
n
aamnNn
(0,,,且1)
m
n
a
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3、实数指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sR)
(2)(ar)sars(a0,r,sR)(3)(ab)rarbr(a0,b0,rR)
2、指数函数的图象和性质
0<a<1a>1
图象
定义域R,值域(0,+∞)
(1)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数
(3)当x>0时,0<y<1;(3)当x>0时,y>1;
当x<0时,y>1当x<0时,0<y<1
对数与对数运算
1、对数的概念一般地,如果
x
aN,那么数x叫做以a为底N的对数,记作:xlogaN(a—底数N—真数)
【注意】(1)注意底数的限制,a>0且a≠1;(2)真数N>0;
2、两个重要对数(1)常用对数:以10为底的对数,log10N记为lgN;
(2)自然对数:以无理数e为底的对数的对数,logln
≈
x
3、对数式与指数式的互化xlogNaN
a
(1)负数和零没有对数(2)logaa=1,loga1=0,特别地,lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0(3)对数恒等式:
logaN
aN
4、如果a>0,a1,M>0,N>0有【有时可逆向运用公式】
M
(1)logMNloglog
(a?)aMaN(2)logalogMlogN
aa
Nn
(3)logaMnlogaM(nR)(一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍)
5、换底公式:
logblgb
c
logba0,a1,c0,c1,b0
a
logalga
c
利用换底公式推导下面的结论①
1n
n
logb③logblogb
alogm
a
a
am
b
对数函数及其性质
1、对数函数的概念函数log
yx(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是____
a
2、对数函数的图像与性质对数函数log
yx(a>0,且a≠1)
a
00<a<1aa>1
自己画画看
图
像
性定义域:_____值域:______
质过点(,)即当x=1时,y=
在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数
当x>1时,y____当x>1时,y___
当x=1时,y____当x=1时,y___
当0<x<1时,y____当0<x<1时,y____
【口诀】底真同大于0(底真不同小于0).
3、如图,底数a对函数yx
:底大枝头低,头低尾巴翘
a
4考点
Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用
单调性比较对数的大小、。
Ⅴ、y=ax(a>0且a≠1)与y=log
x(a>0且a≠1)与y=log
ax(a>0且a≠1)互为反函数,图象关于y=x对
称。
6比较大小的方法:(1)利用函数单调性(同底数);(2)利用中间值(如:0,1.);(3)
变形后比较;(4)作差比较(5)比商判断

1、幂函数定义
一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
2、幂函数性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+∞),当
α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;
(3)α<0时,幂函数的图象在(0,+∞),当x从右边
趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在x轴
上方无限地逼近x轴正半轴.

1、函数零点的概念:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐
标)
2、函数零点的意义:方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
3、零点定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至
少有一个零点c,使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根.
4、函数零点的求法求函数y=f(x)的零点:(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根;
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零
点.
5、一元二次方程ax
2+bx+c=0(a>0)的根的分布
两个根都在(m,n)内两个有且仅有一个在x1∈(m,n)x2∈(p,q)
(m,n)内
y
mnpq
m
n
x
f(m)f(n)<0
两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K,一个根大于K
y
kk
xk
0
b
2a
k
f(k)0