高三数学二轮复习专题限时集训3专题5突破点3直线与圆理.docx

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建议A、B组各用时:45分钟]
A组 高考达标]
一、选择题
:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=(-4,a)作圆C一条切线,切点为B,那么|AB|=( )


C 圆C标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径为r=2,因此2+a×1-1=0,所以a=-1,从而A(-4,-1),
|AB|===6.]
2.(2021·衡水一模)圆x2+y2+mx-=0与抛物线y=x2准线相切,那么m=( )
A.±2 B.±
C. D.
B 抛物线准线为y=-1,将圆化为标准方程得2+y2=,圆心到准线距离为1=⇒m=±.]
3.(2021·长春一模)假设动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,那么AB中点M到原点距离最小值为( )
A.

C 由题意知AB中点M集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等直线,:x+y+m=0,根据平行线间距离公式得,
=,解得m=-6,即l:x+y-6=0,再根据点到直线距离公式得点M到原点距离最小值为=3.]
4.(2021·承德二模)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,那么反射光线所在直线斜率为( )【导学号:85952048】
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
D 由光反射原理知,反射光线反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线斜率为k,那么反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
又因为光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以=1,
整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-,应选D.]
5.(2021·湘潭二模)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,假设a∈R,b∈R且ab≠0,那么+最小值为( )

C. D.
A x2+y2+2ax+a2-4=0,即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0,即x2+(y-2b)2=1,依题意可得,两圆外切,那么两圆心距离等于两圆半径之和,那么=1+2=3,即a2+4b2=9,所以+==≥=1,当且仅当=即a=±b时取等号,应选A.]
二、填空题
6.(2021·赤峰高三统考)⊙O:x2+y2=1,假设直线y=kx+2上总存在点P,使得过点P⊙O两条切线互相垂直,那么实数k取值范围是________.
(-∞,-1]∪1,+∞) 因为圆心为O(0,0),半径R=1.
设两个切点分别为A,B,
那么由题意可得四边形PAOB为正方形,
故有PO=R=,
由题意知圆心O到直线y=kx+2距离小于或等于PO=,即≤,即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.]
7.(2021·合肥一模)设点P在直线y=2x+1上运动,过点P作圆(x-2)2+y2=1切线,切点为A,那么切线长|PA|最小值是________.
2 圆心C(2,0)到直线2x-y+1=0距离d=,所以|PA|=≥=2.]
8.(2021·长沙二模)假设直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等四段弧,那么a2+b2=________.
18 由题意得直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b截得圆弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为r=2,即==2⇒a2+b2=(2+1)2+(-2+1)2=18.]
三、解答题
9.(2021·南昌一模)圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).
(1)求过点A圆切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC面积S.
解] (1)由圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,配方得(x-2)2+(y-3)2=1,圆心C(2,3).2分
当斜率存在时,
设过点A圆切线方程为y-5=k(x-3),
即kx-y+5-3k=0.
由d==1,得k=.4分
又斜率不存在时直线x=3也与圆相切,5分
故所求切线方程为x=3或3x-4y
(2)直线OA方程为y=x,即5x-3y=0,8分
点C到直线OA距离为d==.10分
又|OA|==,∴S=|OA|d=.12分
10.(2021·洛阳一模)点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)假设直线l过点P且被圆C截得线段长为4,求l方程;
(2)求过P点圆C弦中点轨迹方程.
解] (1)如下图,
|AB|=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,2分
所以圆C圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB中点,那么CD⊥AB,
所以|AD|=2,|AC|=4,C点坐标为(-2,6).
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
假设直线l斜率存在,设为k,那么直线l方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB距离公式:=2,得k=.
故直线l方程为3x-4y
直线l斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x
所以所求直线l方程为x=0或3x-4y
(2)设过P点圆C弦中点为D(x,y),
那么CD⊥PD,即·=0,
所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,10分
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y
B组 名校冲刺]
一、选择题
(x-1)2+(y-1)2=9,点P(2,2)是该圆内一点,过点P最长弦和最短弦分别为AC和BD,那么四边形ABCD面积是( )


D 依题意,圆最长弦为直径,最短弦为过点P垂直于直径弦,所以|ACBD距离为=,所以|BD|=2==×|AC|×|BD|=×6×2=.]
:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0周长,那么(a-2)2+(b-2)2最小值为( )
A.
B 由题意,知圆心M坐标为(-2,-1),所以-2a-b+1=0.
因为(a-2)2+(b-2)2表示点(a,b)与(2,2)距离平方,
而最小值为=,所以(a-2)2+(b-2).]
:4<r<7,命题q:圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上恰好有两个点到直线4x-3y=2距离等于1,那么p是q( )




B 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2距离等于5,所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2距离等于1时,4<r<6,所以p是q必要不充分条件.]
4.(2021·兰州二模)直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同两点A,B,O为坐标原点,且有|+|≥||,那么k取值范围是( )
A.(,+∞) B.,2)
C.,+∞) D.,2)
B 由得圆心到直线距离小于半径,即<2,
由k>0,得0<k<2.①
如图,又由|+|≥||,得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥,因|OB|=2,所以|OM|≥1,
故≥1⇒k≥.②
综①②得≤k<2.]
二、填空题
+y-a=0与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|2-3|=|2+3|,那么实数a值为________.【导学号:85952049】
± 由|2-3|=|2+3|得
·=0,即OA⊥OB,那么直线x+y-a=0过圆x2+y2=2与x轴,y轴正半轴或负半轴交点,故a=±.]
=4x焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,那么圆C方程为________.
x2+(y-1)2=10 设所求圆半径为r,抛物线y2=4x焦点坐标为(1,0),那么圆C圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0距离d==1,
故圆C方程是x2+(y-1)2=10.]
三、解答题
,圆心在直线y=-x+2上圆C.
(1)当圆C经过点A(2,2),且与y轴相切时,求圆C方程;
(2)E(1,1),F(1,-3),假设圆C上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圆心横坐标a取值范围.
解] (1)∵圆心在直线y=-x+2上,半径为2,
∴可设圆方程为(x-a)2+y-(-a+2)]2=4,2分
其圆心坐标为(a,-a+2).
∵圆C经过点A(2,2),且与y轴相切,
∴有
解得a=2,4分
∴圆C方程是(x-2)2+y2
(2)设Q(x,y),由|QF|2-|QE|2=32,
得(x-1)2+(y+3)2-(x-1)2+(y-1)2]=32,
解得y=3,∴点Q在直线y
又∵点Q在圆C:(x-a)2+y-(-a+2)]2=4上,
∴圆C与直线y=3必须有公共点.
∵圆C圆心纵坐标为-a+2,半径为2,
∴圆C与直线y=3有公共点充要条件是
1≤-a+2≤5,即-3≤a
∴圆心横坐标a取值范围是-3,1].12分
8.△ABC三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为⊙H.
(1)假设直线l过点C,且被⊙H截得弦长为2,求直线l方程;
(2)对于线段BH上任意一点P,假设在以点C为圆心圆上都存在不同两点M,N,使得点M是线段PN中点,求⊙C半径r取值范围.
解] (1)线段AB垂直平分线方程为x=0,线段BC垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为=,
⊙H方程为x2+(y-3)2=10.
设圆心H到直线l距离为d,因为直线l被⊙H截得弦长为2,所以d=
当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;4分
当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),那么=3,解得k=,直线方程为4x-3y-6=0.
综上,直线l方程为x=3或4x-3y
(2)直线BH方程为3x+y-3=0,
设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),
因为点M是线段PN中点,
所以M,
又M,N都在半径为r⊙C上,
所以
即7分
因为该关于x,y方程组有解,
即以(3,2)为圆心,r为半径圆与以(6-m,4-n)为圆心,
2r为半径圆有公共点,
所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,8分
又3m+n-3=0,
所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈0,1]成立.
而f(m)=10m2-12m+10在0,1]上值域为,故r2≤且10≤
又线段BH与圆C无公共点,
所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对∀m∈0,1]成立,
即r2<.
故⊙