高中立体几何最佳解题方法及考题详细解答.docx

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线线平行证明方法
利用平行四边形;
利用三角形或梯形中位线;
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线平面与这个相交,那么这条直线和交线平行。〔线面平行性质定理〕
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线平行。〔面面平行性质定理〕
如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。〔线面垂直性质定理〕
平行于同一条直线两个直线平行。
夹在两个平行平面之间平行线段相等。
线面平行证明方法
定义法:直线和平面没有公共点。
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线就和这个平面平行。〔线面平行判定定理〕
两个平面平行,其中一个平面内任意一条直线必平行于另一个平面。
反证法。
面面平行证明方法
定义法:两个平面没有公共点。
如果一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。〔面面平行判定定理〕
平行于同一个平面两个平面平行。
经过平面外一点,有且只有一个平面与平面平行。
垂直于同一条直线两个平面平行。
线线垂直证明方法
勾股定理;2、等腰三角形;3、菱形对角线;
4、圆所对圆周角是直角;5、点在线上射影;
6、如果一条直线和这个平面垂直,那么这条直线和这个平面内任意直线都垂直。
7、在平面内一条直线,如果和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜线射影垂直。〔三垂线定理〕
在平面内一条直线,如果和这个平面一条斜线射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
如果两条平行线中一条垂直于一条直线,那么另一条也垂直于这条直线。
线面垂直证明方法:
定义法:直线与平面内任意直线都垂直;
点在面***影;
如果一条直线和一个平面内两条相交直线垂直,那么这条直线就和这个平面垂直。〔线面垂直判定定理〕
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线直线必垂直于另一个平面。〔面面垂直性质定理〕
两条平行直线中一条垂直于平面,那么另一条必垂直于这个平面。
一条直线垂直于两个平行平面中一个平面,那么这条直线必垂直于另一个平面。
两相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们交线必垂直于第三个平面。
过一点,有且只有一条直线与平面垂直。
过一点,有且只有一个平面与直线垂直。
面面垂直证明方法:
定义法:两个平面二面角是直二面角;
如果一个平面经过另一个平面一条垂线,那么这两个平面垂直;〔面面垂直判定定理〕
如果一个平面与另一个平面垂线平行,那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面与另一个平面垂面平行,那么这两个平面互相垂直。
高中立体几何经典考题及方法汇总
1线面平行判定
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
1、如图,在正方体中,是中点,
求证:平面。
证明:连接交于,连接,
∵为中点,为中点
∴为三角形中位线∴
又在平面内,在平面外
∴平面。
2线面垂直判定
2、中,面,,求证:面.
证明:°
又面
面
又面
3线面平行判定〔利用平行四边形〕,线面垂直判定
3、正方体,是底对角线交点.
求证:(1)C1O∥面;(2)面.
证明:〔1〕连结,设,连结
∵是正方体是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是中点,∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面,面∴C1O∥面
〔2〕面
又,
同理可证,又
面
4线面垂直判定
4、正方体中,求证:〔1〕;〔2〕.
5线面平行判定〔利用平行四边形〕
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F
5、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;
(2)假设E、F分别是AA1,CC1中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.
证明:(1)由B1B∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,
又BDË平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,
∴BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.
而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.
(2)由BD∥B1D1,得BD∥,∴AE∥B1G.
从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.
6三垂线定理
6、如图是所在平面外一点,平面,是中点,是上点,
〔1〕求证:;〔2〕当,时,求长。
证明:〔1〕取中点,连结,∵是中点,
∴,∵平面,∴平面
∴是在平面***影,取中点,连结,∵∴,又,∴
∴,∴,由三垂线定理得
〔2〕∵,∴,∴,∵平面.∴,且,∴
7线面平行判定〔利用三角形中位线〕,面面垂直判定
7、如图,在正方体中,是中点.
〔1〕求证:平面;
〔2〕求证:平面平面.
证明:〔1〕设,
∵、分别是、中点,∥
又平面,平面,∥平面
〔2〕∵平面,平面,
又,,平面,平面,平面平面
8线面垂直判定,构造直角三角形
8、是矩形,平面,,,为中点.
〔1〕求证:平面;〔2〕求直线与平面所成角.
证明:在中,,
∵平面,平面,
又,平面
〔2〕为与平面所成角
在,,在中,
在中,,
9线面垂直判定,构造直角三角形,面面垂直性质定理,二面角求法〔定义法〕
9、如图,在四棱锥中,底面是且边长为菱形,侧面是等边三角形,且平面垂直于底面.
〔1〕假设为中点,求证:平面;
〔2〕求证:;
〔3〕求二面角大小.
证明:〔1〕为等边三角形且为中点,
又平面平面,平面
〔2〕是等边三角形且为中点,
且,,平面,
平面,
〔3〕由,∥,
又,∥,
为二面角平面角
在中,,
10线面垂直判定,运用勾股定理寻求线线垂直
10、如图1,在正方体中,为中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD.
证明:连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,
∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥.
设正方体棱长为,那么,.
在Rt△中,.∵,∴.
∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD.
11线面垂直判定
11、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥:AH⊥平面BCD.
证明:取AB中点F,连结CF,DF.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴平面CDF.
∵平面CDF,∴.
又,,
∴平面ABE,.
∵,,,
∴平面BCD.
12线面垂直判定,三垂线定理
12、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D
证明:连结AC
∴AC为A1C在平面AC上射影