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第卷第期华侨大学学报自然科学版. .
年月.
文章编号: —一—
一类二阶微分方程两点边值问题的正解存在性
曹君艳,王全义
华侨大学数学科学学院,福建泉州
摘要: 利用不动点定理,研究一类二阶微分方程两点边值问题的正解存在性,获得此方程
,其存在性的充分条件简单,且易于验证.
关键词: 不动点定理;两点边值问题;正解;存在性
中图分类号: . 文献标识码:
由于二阶微分方程广泛的应用背景,—研究了二阶两点边
值问题
~ ￡一,￡, ,,
:一
,,对是超线性或次线性的. 等讨论了两点边值问题,即
一￡,￡, ,,
,
一,

￡￡,￡一, ￡,,
一一
,￡在,上连续,,:,×,一,∞连续.
预备知识
首先,引入如下几个定义及引理.
定义设是一个空间,非空,且满足两个条件:对任意的“,和实数,
. , ∈成立;若,一∈,必有,则称是中的一个锥.
定义定义在上的映射:一,。。,如果满足
一￡,≥一, ,, ≤≤,
则称映射是一个非负连续的凹泛函.
定义设常数口, 是定义在上的连续非负凹泛函,定义
。一, 一≤,
,,一≤,『≤.
引理。即—,· 为空间,为上的
:一全连续,定义在上的非负连续凹泛函,满足≤,
;若存在常数口≤,使得以下个条件成立.
当∈,, 口≠,且,,时, 口.
收稿日期: ——
通信作者: 王全义一,男,教授,主要从事常微分方程和泛函微分方程的研究.: ...
基金项目: 福建省自然科学基金资助项目
华侨大学学报自然科学版年
Ⅱ当,时,恒有.
当,,,且时, ,算子在上至少存在个不动点
,,.∈,满足,口,,以.
多重正解的存在性
边值问题的正解,,,一一,
定义—￡,.显然,
一￡￡≥, , ,.
引理—￡是边值问题的一个正解,当且仅当—￡是积分方程,有
厂
￡一,,, ≤≤

,,,,≤￡,≤.
证明首先,假设—￡,将式移项后可得
￡一胁￡厂￡,￡.
对上式的两边同时从到积分,可得

一一一,.

由边值一,可得

￡一,.

再对式从到积分,有
广￡
￡一一,—


厂,厂,,,.
上式中,, ,,≤,≤.,—是积分方程的
一个正解.
其次,假设￡,从式右边可知,￡,.因此,对
式的两边同时对求导,可得
￡一厂,,,一

广
厂￡,厂,一矗厂￡,,,
￡
易见一,且￡,再对式两边同时微分,可得
￡一￡厂￡,￡, ,.
由于,一,,是边值问题的一个正解.
现假设条件￡,￡∈,;存在非负且单调增加的连续函数,,,
。。,满足/ ≠,并使得