环境水利学第3章 随流扩散与紊动扩散 (4).ppt

第一节随流扩散方程
第三章随流扩散与紊动扩散
随流扩散:由于时均流速使污染物质发生输移的现象
紊动扩散:由于脉动流速使污染物质发生输移
对层流: u′、 v′、w′为零
x,u
y,v
z,w
设流体质点具有瞬时流速矢量在x、y、z直角坐标上的分量分别为u、v、w:
图直角坐标系下的瞬时流速分量

设v=w=0,只有u分量(沿x轴)
Fick定律:
污染物随流输移的通量:
在随流作用和分子扩散作用下,单位时间内通过直角坐标系yz平面上单位面积的示踪物质质量:
第一节随流扩散方程
x
qf
qs
图随流和分子扩散示意图
质量守恒式:
根据不可压缩流体的一维连续性方程
一维随流扩散方程
(3-1-1)
为了求得在一定的初始条件和边界条件下该方程的解析解,一般都补充假定¶u/¶t =0,亦即认为u也不随t 而变。
图一维输移的控制体示意
第一节随流扩散方程
用直角坐标表示,有
(3-1-2b)
对三维情形,有通量:
将之代入质量守恒式:
由水流连续方程,可得:
(3-1-2a)
随流扩散方程与分子扩散方程不同点是多了一些随流项,共同点是两者都是质量守恒定律在扩散问题中的体现。
第一节随流扩散方程
(3-1-2c)
用圆柱坐标(r,q, z)表示,有
式中:ur 、 uq和us分别是流速在r、q和z方向上的分量。
第一节随流扩散方程
圆柱坐标与直角坐标的关系:
图圆柱坐标系
式中:r、θ、z分别为径向距离、方位角、高度。
第二节随流扩散方程的解析解
用解析法求解三维随流扩散方程中浓度函数c(x ,y ,z ,t )在数学上是很困难的, 一般只对一维随流扩散方程,且在边界条件和初始条件都比较简单的情况下才有可能。
严格说来,由于水中污染物的存在对流动会产生影响,例如热污染、海水与河水混掺等,所以当求解随流扩散方程(包括将要介绍的随流紊动扩散方程)时, 应将它与流体运动基本方程组联立求解包括流速和浓度等未知函数。
在示踪物质的假定下,可以将流场和浓度场分开求解,即先求解流速,然后求解浓度。
一、一维随流扩散的置换解法及瞬时源无界空间的解析解
第二节随流扩散方程的解析解
一维随流扩散方程:
令τ=t,ξ=x-ut,其中u为常数。采用微分连锁规则, 有:
( 3-2-1 )
( 3-2-2 )
将t 写作t,便得:
( 3-2-3 )
与一维分子扩散方程相似
如果站在速度为 u 的动坐标 x 上观察,则一维随流扩散问题变为在静止水体中的扩散问题。
第二节随流扩散方程的解析解
在静止水体中的扩散解式中,以(x-ut)置换x之后,如果还满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件,这就是问题的解—这种解法称为置换解法。
x
0
u
图一维随流扩散
将上两式按τ=t、ξ=x-ut 进行变换之后,得:
( 3-2-4 )
和
( 3-2-5 )
和
( 3-2-6 )
( 3-2-7 )
第二节随流扩散方程的解析解
可以将置换解法应用到一维随流二维(或三维)扩散的某些问题中来。一维随流二维和三维扩散方程分别为:
1、瞬时点源无界空间一维随流扩散与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应,有解:
可以验证,该解满足:
初始条件:c(x, 0)= md(x)
边界条件:c(±∞,t )=0, ¶c(±∞, t )/¶x=0
( 3-2-8 )
第二节随流扩散方程的解析解