已知一点的应力状态MPa(1).doc

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第一章
已知一点的应力状态MPa,试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少?
解:若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为:
,,
因此:,;
Sx=σxl+τxym+τxzn=
Sy=τxy l+σym+τzyn=
Sz=τxzl+τyzm+σzn=
1-11已知OXYZ坐标系中,物体内某点的坐标为(4,3,—12),其应力张量为:,求出主应力,应力偏量及球张量,八面体应力。
解:=100+50-10=140
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=100×50+50×(—10)+100×(-10)—402—(-20)2—302
=600
==-192000

σ1=,σ2=,σ3=49。5
σm=140/3=46。7

σ8=σm=
1—12设物体内的应力场为,,,,试求系数c1,c2,c3.
解:由应力平衡方程的:
即: (1)
(2)
有(1)可知:因为x与y为任意实数且为平方,要使(1)为零,必须使其系数项为零,
因此,—6-3c2=0 (3)
3c1-c3=0 (4)
联立(2)、(3)和(4)式得:
即:c1=1,c2=-2,c3=3
已知受力物体内一点应力张量为:求外法线方向余弦为l=m=
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,n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
解:Sx=σxl+τxym+τxz n=
Sy=τxy l+σy m+τzy n=
Sz=τxz l+τyzm+σz n=
S=
J1=20
J2=16025
J3=-806250
σ3-20σ2—16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根!
σ1=-138。2,σ2=99。6,σ3=
在直角坐标系中,已知物体内某点的应力张量为
a)MPa;b)MPa;c)MPa
1)画出该点的应力单元体;
2)求出该点的应力不变量,主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。
解:a)点的应力单元体如下图
2)
a)MPa该点的应力不变量:J1=10MPa,J2=200MPa,J3=0
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MPa,
主应力和主方向:
σ1=20MPa,l=m=0;n=
σ2=—10MPa,l=m=n=0
σ3=0MPa,l=m=0;n=
主剪应力τ12=±15MPa;τ23=±5 MPa;τ12=±10MPa
最大剪应力τmax=15 MPa
八面体应力σ8=;τ8=。
等效应力MPa
应力偏张量及球张量.
MPa;MPa;
b)点的应力单元体如下图
MPa该点的应力不变量:J1=10 MPa,J 2=2500MPa,J 3=500MPa,
主应力和主方向:
σ1=10 MPa,l=m=n=0
σ2=50MPa,l= m=n=0;
σ3=—50MPa,l= m= n=0。
主剪应力τ12=±20MPa;τ23=±50MPa;τ12=±30MPa
最大剪应力τmax=30MPa
八面体应力σ8=;τ8=。
等效应力MPa
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应力偏张量及球张量。
MPa; MPa;
c) 点的应力单元体如下图
MPa该点的应力不变量:J1=—18MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,
主应力和主方向:
σ1=10MPa,l=m=n=0
σ2=50 MPa,l= m= n=0;
σ3=—50 MPa,l=m=n=0。
主剪应力τ12=±20MPa;τ23=±50MPa;τ12=±30 MPa
最大剪应力τmax=30MPa
八面体应力σ8=-6MPa;τ8=.
等效应力=
应力偏张量及球张量。
;
1—(图1-23),在板上每一点=常数,试问为多大时,等效应力为最小?并求其最小值。
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图1-23(题19)
解:等效应力:
令,要使等效应力最小,必须使y值最小,两边微分得:
等效应力最小值:
1—20。在平面塑性变形条件下,塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上,其正应力为σ(σ<0),切应力为τ,且为最大切应力K,如图1—,并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy,且将σy﹑τyz及σx、τxy所在平面标注在应力莫尔圆上。
图1—24(题20)
解:由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平面,又由于切应力方向为逆时针,因此切应力为负,其位置为应力莫尔圆
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的最下方,该点的应力莫尔圆如图1—25所示.
图1-25
第二章
2-,其中a、b为常数,试问上述应变场在什么情况下成立?
解:对求y的2次偏导,即:
(1)
对求x的2次偏导,即:
(2)
对求x和y的偏导,即:
(3)
带(1)、(2)和(3)入变形协调方程(4),得:
(4)
即:时上述应变场成立。
2-10试判断下列应变场是否存在?
(1),,,,,
(2),,,,
(1)解:对、和分别求x、y或z的2次偏导,对、和分别求x、y和z的2次偏导,则:
,; (a)
,; (b)
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,; (c)
,; (d)
将(a)、(b)、(c)和(d)代入变形协调方程(e):
(e)
则(e)第一式不等,即:
这说明应变场不存在.
(2)对、和分别求x、y或z的2次偏导,对和分别求x、y和z的2次偏导,
,; (a)
,; (b)
,; (c)
,; (d)
则:,说明应变场不存在。
2-11。设物体中任一点的位移分量为

求点A(0。5,-1,0)的应变分量、应变球张量,主应变,八面体应变、等效应变。
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解:
将点A的x=,y=—1,z=0代入上式,得点A的应变分量
对于点A:
即:
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