高等数学练习题库及答案.pdf

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高等数学练****题库及答
案
Companynumber:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】:.
《高等数学》练****测试题库及答案

1
=是()
x21

x
(sin)=cosx+1,则f(x)为()
2
A2x2-2B2-2x2C1+x2D1-x2
()
3254
A.,,,B.,,,
2345
n
,n为奇数
2n1
1n
C.{f(n)},其中f(n)=D.{}
n2n
,n为偶数
1n
()


()


sin(x21)
()
x1x1
.0C2
k
(1)xe6则k=()
xx
.2C6
1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是()
-1C.(x-1)2(x-1)
(x)在点x=x处有定义是f(x)在x=x处连续的()
00:.


10、当|x|<1时,y=()
A、是连续的B、无界函数
C、有最大值与最小值D、无最小值
11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为
()
A、B、eC、-eD、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为()
A、xarctan1/xB、arctan1/x
C、tan1/xD、cos1/x
13、设f(x)在点x连续,g(x)在点x不连续,则下列结论成立是()
00
A、f(x)+g(x)在点x必不连续
0
B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有
0
C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续
0
D、在点x必不连续
0
14、设f(x)=在区间(-∞,+∞)上连续,且f(x)=0,则a,b
满足()
A、a>0,b>0B、a>0,b<0
C、a<0,b>0D、a<0,b<0
15、若函数f(x)在点x连续,则下列复合函数在x也连续的有()
00
A、B、:.
C、tan[f(x)]D、f[f(x)]
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()
A、[0,л]B、(0,л)
C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)
17、在闭区间[a,b]上连续是函数f(x)有界的()
A、充分条件B、必要条件
C、充要条件D、无关条件
18、f(a)f(b)<0是在[a,b]上连续的函f(x)数在(a,b)内取零值的()
A、充分条件B、必要条件
C、充要条件D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()
A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为()
A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=logx相切,则()
a
A、eB、1/eC、exD、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是()
A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()
A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数,且f`(x)=a,则f`(-x)=()
00:.
A、aB、-aC、|a|D、0
25、设y=㏑,则y’|x=0=()
A、-1/2B、1/2C、-1D、0
26、设y=(cos)sinx,则y’|x=0=()
A、-1B、0C、1D、不存在
27、设yf(x)=㏑(1+X),y=f[f(x)],则y’|x=0=()
A、0B、1/㏑2C、1D、㏑2
28、已知y=sinx,则y(10)=()
A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx
29、已知y=x㏑x,则y(10)=()
A、-1/x9B、1/x9C、x9D、x9
30、若函数f(x)=xsin|x|,则()
A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0)=∞D、f``(0)=л
31、设函数y=yf(x)在[0,л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定,则|dy/dx|=()
x=0
A、-1B、0C、л/2D、2
32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率,K=()
A、-1B、0C、1D、2
33、函数f(x)在点x连续是函数f(x)在x可微的()
00
A、充分条件B、必要条件
C、充要条件D、无关条件
34、函数f(x)在点x可导是函数f(x)在x可微的()
00
A、充分条件B、必要条件:.
C、充要条件D、无关条件
35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是()
A、0B、-dxC、dxD、不存在
x1
36、极限lim()的未定式类型是()
x11xlnx
A、0/0型B、∞/∞型C、∞-∞D、∞型
sinx1
37、极限lim()x2的未定式类型是()
x
x0
A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型
1
x2sin
x
38、极限lim=()
x0sinx
A、0B、1C、2D、不存在
39、xx时,n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx的()
00
A、(n+1)阶无穷小B、n阶无穷小
C、同阶无穷小D、高阶无穷小
40、若函数f(x)在[0,+∞]内可导,且f`(x)>0,xf(0)<0则f(x)在[0,+∞]内有
()
A、唯一的零点B、至少存在有一个零点
C、没有零点D、不能确定有无零点
41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为()
A、2B、1/2C、1D、0
42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为()
A、0B、1/2C、1D、2
43、若函数f(x)在(a,b)内存在原函数,则原函数有():.
A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对
44、若∫f(x)dx=2ex/2+C=()
A、2ex/2B、4ex/2C、ex/2+CD、ex/2
45、∫xe-xdx=(D)
A、xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+C
C、xe-x+e-x+CD、-xe-x-e-x+C
46、设P(X)为多项式,为自然数,则∫P(x)(x-1)-ndx()
A、不含有对数函数B、含有反三角函数
C、一定是初等函数D、一定是有理函数
47、∫0|3x+1|dx=()
-1
A、5/6B、1/2C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于()
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是()
A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/15
50、点(1,0,-1)与(0,-1,1)之间的距离为()
A、B、2C、31/2D、21/2
51、设曲面方程(P,Q)则用下列平面去截曲面,截线为抛物线的平面是()
A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为()
A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为():.
A、原点(0,0,0)B、三坐标轴
C、三坐标轴D、曲面,但不可能为平面
54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面,它的旋转轴是()
A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线
55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是()
A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面
56下列命题正确的是()
A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界
C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛
(x)在点x=x处有定义是f(x)在x=x处连续的()
00
A、.必要条件B、充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的()
A、[0,л]B、(0,л)
C、[-л/4,л/4]D、(-л/4,л/4)
59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有()
A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+1
60设y=(cos)sinx,则y’|=()
x=0
A、-1B、0C、1D、不存在
二、填空题
1、求极限lim(x2+2x+5)/(x2+1)=()
x1
2、求极限lim[(x3-3x+1)/(x-4)+1]=()
x0
3、求极限limx-2/(x+2)1/2=()
x2
4、求极限lim[x/(x+1)]x=()
x
5、求极限lim(1-x)1/x=()
x0
6、已知y=sinx-cosx,求y`|=()
x=л/6
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求dρ/dψ|=()
ψ=л/6
8、已知f(x)=3/5x+x2/5,求f`(0)=():.
9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切,则a=()
10、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()
11、函数y=2x3极小值与极大值分别是()
12、函数y=x2-2x-1的最小值为()
13、函数y=2x-5x2的最大值为()
14、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为()
15、点(0,1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点,则有b=()c=()
16、∫xx1/2dx=()
17、若F`(x)=f(x),则∫dF(x)=()
18、若∫f(x)dx=x2e2x+c,则f(x)=()
19、d/dx∫barctantdt=()
a
1xt2
(e1)dt
x20,x0
20、已知函数f(x)=在点x=0连续,则a=()
a,x0

21、∫2(x2+1/x4)dx=()
0
22、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
23、∫31/2adx/(a2+x2)=()
0
24、∫1dx/(4-x2)1/2=()
0
л
25、∫sin(л/3+x)dx=()
л/3
26、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
27、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
28、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
29、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4:.
30、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
31、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
32、∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
33、满足不等式|x-2|<1的X所在区间为()
34、设f(x)=[x]+1,则f(л+10)=()
35、函数Y=|sinx|的周期是()
36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()
37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是()
38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为()
39、三点(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)构成的三角形为()
40、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,则该点的轨迹方程是
()
41、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()
42、求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交点是()
43、求平行于xoz面且经过(2,-5,3)的平面方程是()
44、通过Z轴和点(-3,1,-2)的平面方程是()
45、平行于X轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程是()
46求极限lim[x/(x+1)]x=()
x
47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=()
48∫9x1/2(1+x1/2)dx=()
4
49y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是()
50求过点(3,0,-1),且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是()
三、解答题:.
1、设Y=2X-5X2,问X等于多少时Y最大并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x<0=的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=ex,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
8、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点(0,3)和(3,0)得的切线所围成的图形的面积。
9/4
14、求对数螺线r=eaθθθ
及射线=-л,=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=ex下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面
积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a,x=0,y=0,绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2,绕x=-b,旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。:.
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0所围图形绕y=2a(a>0)旋转所得旋转体体
积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M(x,y)的弧长。
27、求对数螺线r=eaθ
自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。
30、求点M(4,-3,5)与原点的距离。
31、在yoz平面上,求与三已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等
距离的点。
32、设U=a-b+2c,V=-a+3b-c,试用a,b,c表示2U-3V。
33、一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离。求这动点的轨迹方程。
34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周,求所生成的旋轴曲方程。
35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程。
36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转
曲面的方程。
37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。
38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。
39、求过点(3,0,-1),且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M的线段OM垂直的平面方程。
000:.
41、求过(1,1,1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程。
42、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0},试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点(4,-1,3)且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
45、求过两点M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直线方程。
46、求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。
47、求过点(3,1,-2)且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。
48、求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影。
49、求点P(3,-1,2)到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
51求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
52求y=ex,y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
53求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积
54求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
四、证明题
18
:21x4dx
13
11dx
2,(n2)
201xn6

(x),g(x)区间a,a(a0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件
aa
f(x)f(x)A(A为常数)。证明:f(x)g(x)dxAg(x)dx
a0
1
,证明2cosnxsinnxdx2cosnxdx
02n0
a
(t)是正值连续函数,f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线yf(x)在
a

a,a上是凹的。
dx1dx
1
:x
x1x211x2:.
(x)是定义在全数轴上,且以T为周期的连续函数,a为任意常数,则
xux
(x)是连续函数,则f(t)dtdu(xu)f(u)du

000

(x),g(x)在a,b上连续,证明至少存在一个(a,b)使得
b2b
2
(x)在a,b上连续,证明:f(x)dx(ba)f(x)dx
aa

(x)在a,b上可导,且f(x)M,f(a)0证明:
《高等数学》练****测试题库参考答案

1——10ABABDCCDAA
11——20ABABBCAADC
21——30DCDAABCCCA
31——40BABDDCCAAD
41——50ABCDDCACCA
51——55DDCCA
56------60DACDC




-1
-1
6.(31/2+1)/2
2
7.(1+)
42:.


9.-1或1-
22

11.-1,0
12.-2


,1
+2x3/2/5
(x)+C
(1+x)
8
6
23./3a
24./6
(31/2-1)
27./2




/2
33.(1,3)

35.




+4y+10z-63=0:.
-7y+5z-4=0
42.(1,-1,3)
+5=0
+3y=0
-2y-2=0
-1


-7y+5z-4=0

=1/5时,有最大值1/5
=-3时,函数有最小值27
=1/2
2ln2
(,-)处曲率半径有最小值3×31/2/2
22

+1/e-2
-3y-2z=0
8.(x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5
9.(-5/3,2/3,2/3)
(21/2-1)

×21/2/3

a2
14.(a2-e2)
4



a2a
(e2e2)

42

:.
166
21.
3

+1/2㏑3/2
33
3
852
25.1

92

yp2y2pyp2y2
26.ln
2p2p
1a2

a
2+5/12

×21/2
31.(0,1,-2)
-11b+7c
+4y+10z-63=0
+z2=5x
+y2+z2=9
:4x2-9(y2+z2)=36y轴:4(x2+z2)-9y2=36
+y2(1-x)2=9z=0
+y2+(1-x)2≤9z=0
-7y+5z-4=0
+9y-6z-121=0
-3y-2z=0
+y-3z-4=0
1
43.
33
x4y1z3
44.==
215
x3y2z1
45.==
421:.
xy2z4
46.==
231
-9y-22z-59=0
48.(-5/3,2/3,2/3)
32
49.
2
17x31y37z1170
50.
4xyz10
=1/2
+1/e-2
×21/2/3


18
:21x4dx
13
证明:令f(x)1x4,x1,1
4x32x3
则f(x),
21x41x4
令f(x)0,得x=0
f(-1)=f(1)=2,f(0)=1
则1f(x)2
上式两边对x在1,1上积分,得不出右边要证的结果,因此必须对f(x)进行分析,显然
有f(x)1x412x2x4(1x2)21x2,于是
11412
dx1xdx(1x)dx,故
111
11dx
2,(n2)
201xn6
1
证明:显然当x0,时,(n>2)有

2
11dx
即,2,(n2)
201xn6:.
(x),g(x)区间a,a(a0)上连续,g(x)为偶函数,且f(x)满足条件
aa
f(x)f(x)A(A为常数)。证明:f(x)g(x)dxAg(x)dx
a0
a0a
证明:f(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx
aa0
1
,证明2cosnxsinnxdx2cosnxdx
02n0
证明:令t=2x,有

0
又,sinntdttusinn(u)du2sinnudu,

0
22
111

所以,2cosnxsinnxdx(2sinntdt2sinntdt)2sinntdtsinnxdx
n1nn
0200202
2

0
又,sinnxdxxtcosntdt2cosnxdx

20
22
1
因此,2cosnxsinnxdx2cosnxdx
02n0
a
(t)是正值连续函数,f(x)xt(t)dt,axa(a0),则曲线yf(x)在
a
a,a上是凹的。
xa
证明:f(x)(xt)(t)dt(tx)(t)dt
ax

故,曲线yf(x)在a,a上是凹的。
dx1dx
1
:x
x1x211x2
1
令x11
1dxu111dudx
证明:•(du)xx
1x211u21u21x2
x11
x1
u2
(x)是定义在全数轴上,且以T为周期的连续函数,a为任意常数,则
aT令xuTaaf(x)以T为周期a
证明:f(x)dxf(uT)duf(xT)dxf(x)dx
T00f(xT)f(x)0
TaTT
在等式两端各加f(x)dx,于是得f(x)dxf(x)dx
0a0:.
xux
(x)是连续函数,则f(t)dtdu(xu)f(u)du

000
x
xuux
证明:f(t)dtduuf(t)dtuf(u)du
0
0000
(x),g(x)在a,b上连续,证明至少存在一个(a,b)使得