微积分基本定理教案.pdf

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第三节微积分基本定理
教学基本信息
教学课题第三节微积分基本定理教学时间45分钟
教学重点微积分基本公式教学对象高职高专学生
教学难点变上限积分函数及导数
.
.
.
;
-莱布尼兹公式的应用.
双语教学微积分:Calculus;变上限积分函数:Integrationofvariableupperlimitfunction;
导数Derivative;牛顿-莱布尼兹:Newton-Leibniz.
教学过程
一、复****备注



二、引入新课
一蝴蝶在一正弦形ysinx,x[0,]花带中飞行,求蝴蝶活动的区域面积?
引入问
题,激起
兴趣,
案例教
学法
问题1:蝴蝶活动的区域面积如何表示?学生回答:Ssinxdx
0
问题2:能否用定积分的定义求出积分值?
学生回答:不能。因为在求积分和时不易计算。
有没有简单的方法求出这个积分值呢?有。通过“微积分基本定理”的学****我
们将给出求定积分的一种简单方法。
三、探究
感性认识变上限积分函数
92
19
例如1xdx2xdx23xdx…下限是一常数,给出一个上
02002
限x,xtdt是一个
0
以x为自变量的函数。
1、变上限积分函数的定义
定义1:设f(x)为区间[a,b]上的连续函数,任取x[a,b]都有唯一确定的定积分
xf(x)dx(xf(t)dt),它是定义在区间
aa
[a,b]:(x)xf(t)dt
a
y
(x)
a
oxx
b
(其几何意义如图)
形如(x)xf(t)dt形式的函数称为变上限积分函数。
a提问学
例1判断下列函数是否为变上限积分函数生,询问
xax2x原因
(x)etdt(x)etdt(x)cosxdt(x)cosxdt
axaa
(提问学生,询问原因)
:下限是一常数,上限只
,,可以计算求其定
义域,值域…在这我们根据需要,只学****它的一条性质---
2、变上限积分函数的导数
定理1如果f(x)在[a,b]上连续,则变上限积分函数(x)xf(t)dt在[a,b]
a
d
上可导,且(x)xf(t)dtf(x),x[a,b]
dxa

例2求下列函数的导数生,询问
x0原因
(1)(x)etdt(2)(x)arctantdt
ax教师根
(提问学生,询问原因)据学生
921310291
x回答总
解:(1)(x)(etdt)ex
a结答案
(2)(x)(xarctantdt)arctanx
0
问题驱
动法(加
xarctantdt
深理解)
例3计算lim0的值
x2
x0
x
arctantdtarctanx1
解:lim0lim
x0x2x02x2

数的性质的应用.
定理2(原函数存在定理)
如果f(x)在[a,b]上连续,则函数(x)xf(t)dt是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.
a
定理的重要意义:
(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.
(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
3、微积分基本定理
如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。则
bf(x)dxF(b)F(a)
a
证已知F(x)是f(x)的一个原函数,
又(x)xf(t)dt也是f(x)的一个原函数,
a
则F(x)xf(t)dtC,x[a,b]
a
令xa则F(a)af(t)dtC,则F(a)C,即F(x)xf(t)dtC,x[a,b]
aa
令xb则F(b)bf(t)dtF(a),即bf(t)dtF(b)f(a),x[a,b]
aa
注意条件:f(x)在[a,b]上连续.
1例4的
例4求定积分1dx
11x2选取主
1要熟悉
解:1dxarctanx1arctan1arctan(1)
11x212公式
例5求定积分52x4dx
0
525
解:2x4dx(2x4)dx(2x4)dx(x24x)2(x24x)54913
00202
1
例6求1dx
2x
921310291
1
解1dxlnx1ln1ln2ln2
2x2提问学
1生,引起
问:计算定积分1dx,能用牛顿莱布尼兹公式吗?
1x对使用
条件的
对本节开始引例的解答重视
一蝴蝶在一正弦形ysinx,x[0,]花带中飞行,求蝴蝶活动的区域面积?
解:面积Asinxdxcosx2.
0
0
学生解
答
四、课堂练****分组练****教师答疑)
x
1、设(x)(2)
0
练****法
解:(x)ex
(巩固
(2)e2知识)
2、y
a
解:ycos2x(2x)2cos2x
3、求f(x)x(t1)dt的极值.
a
解:定义域为R
f(x)x1
x1时,f(x)0
x1时,f(x)0,函数为增函数.
x1时,f(x)0,函数为减函数.
111
f(1)(t1)dt[t2t]1
0
022
为函数的极小值.
五、课堂小结
本节通过几个例子的讲解,轻而易举推出变上限积分函数的概念;学****了变上限
.
:(x)xf(t)dt
a
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:(x)f(x)
:bf(x)dxF(b)F(a)
a
注意条件:f(x)在[a,b]上连续.
六、作业布置
课下预****定积分的积分方法
七、教学反思
通过几个例子,让学生感知到定积分的基本思想,并不需要严格的证明,体现了新
课标中对高职高专学生“以够用为度”的教学理念。.
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