高考数学总复习 第6单元第5节 数列求和课件 文 苏教.pptx

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2021/8/11星期三
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基础梳理
数列求和的常用方法
(1)公式法
①直接用等差、等比数列的求和公式.
②掌握一些常见的数列的前n项和.
1+2+3+…+n=____________;
1+3+5+…+(2n-1)=______.
n2
(2)倒序相加法
如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的
和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项
和就可用倒序相加法,如______数列的前n项和就
是用此法推导的.
等差
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(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的
对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法
来求,如______数列的前n项和就是用此法推导的.
等比
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可
以相互抵消,从而求得其和.
常见的拆项公式有:
①
=____________________;
②
=________________________;
③
=______________.
(5)分组求和法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类
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数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数
列,即先分别求和,然后再合并,形如:
①{an+bn},其中{an}是等差数列,{bn}是等比数列;
②an=
基础达标
(原创题)数列1,0,-3,…,n+2-2n,…的前n项和为
________.
解析:Sn=1+0+(-3)+…+n+2-2n
=(3-2)+(4-4)+(5-8)+…+(n+2-2n)
=(3+4+5+…+n+2)-(2+4+8+…+2n)
=n(n+5)-2n+1+2.
2.(必修5P40引例改编)若x1+x2=1,且f(x1)+f(x2)=
则f
+f
+…+f
=________.
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解析:∵x1+x2=1,
f(x1)+f(x2)=
又∵
∴
令S=
∴S=
∴2S=
=(n-1)×
=
∴S=
3.(必修5P62复****题7改编)数列{an}的前n项和为Sn,若an=
则S5=________.
解析:∵an=
∴S5=
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4.(必修5P54例3改编)
=________.(x≠0,y≠1,x≠1)
解析:∵x≠0,x≠1,y≠1,
∴
5.(必修5P58****题6改编)求数列1,3a,5a2,7a3,…,
(2n-1)·an-1,…(a≠0)的前n项和.
解析:当a=1时,数列变为1,3,5,7,…,(2n-1),…,
Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)
当a≠1时,有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②令①-②,得
Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2a4+…+2an-1-(2n-1)an,
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即(1-a)Sn=1+2·-(2n-1)an.
∵1-a≠0,∴Sn=
经典例题
题型一 利用错位相减法求和
【例1】 (2011·扬州中学高三上学期期中考试)已知数列
{an}的前n项和Sn=n2+2n,设数列{bn}满足an=log2bn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)设Gn=a1·b1+a2·b2+…+an·bn,求Gn.
分析 (1)由Sn与an的关系求出{an}的通项公式;
(2)可证数列{bn}是等比数列,直接用等比数列的前n项和公式
求解;
(3)由Gn=a1·b1+a2·b2+…+an·bn的特点可知,应用错位相
减法求和.
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解:(1)∵Sn=n2+2n,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1;当n=1时,a1=S1=3,
也满足上式,
∴综上所述,an=2n+1.
(2)由an=log2bn得bn=2an=22n+1,
∴
∴数列{bn}是等比数列,其中b1=8,q=4.
∴Tn=23+25+…+22n+1=
(3)Gn=3·23+5·25+…+(2n+1)·22n+1,
4Gn=3·25+5·27+…+(2n-1)·22n+1+(2n+1)·22n+3,
两式相减得:-3Gn=3·23+(2·25+2·27+…+2·22n+1)
-(2n+1)·22n+3;
=24+-(2n+1)·22n+3=
即-3Gn=24+(26+28+…+22n+2)-(2n+1)·22n+3
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变式1-1
(2010·四川)已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
解析:(1)设{an}的公差为d,由已知得
解得a1=3,d=-1.
故an=3-(n-1)=4-n.
(2)由(1)的解答可得,bn=n·qn-1,于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2
+…+n·qn-1,
若q≠1,将上式两边同乘以q有qSn=1·q1+2·q2+…+(n-
1)·qn-1+n·qn,
两式相减得
(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1
=nqn-
于是Sn=
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若q=1,则Sn=1+2+3+…+n=
所以Sn=
题型二 利用裂项相消法求和
【例2】 (2010·山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,
a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=
(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟悉数列的基础知识是解答好本题的关键.
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