MATLAB大作业.pdf

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MATLAB大作业
作业要求:
(1)编写程序并上机实现,提交作业文档,包括打印稿(不含源程序)和电
子稿(包含源程序),以班为单位交,作业提交截止时间6月24日。
(2)作业文档内容:问题描述、问题求解算法(方案)、MATLAB程序、结果
分析、本课程学****体会、列出主要的参考文献。打印稿不要求MATLAB程序,但电
子稿要包含MATLAB程序。
(3)作业文档字数不限,但要求写实,写出自己的理解、收获和体会,有话
则长,无话则短。不要抄袭复制,可以参考网上、文献资料的内容,但要理解,要
变成自己的语言,按自己的思路组织内容。
(4)从给出的问题中至少选择一题(多做不限,但必须独立完成,严禁抄袭)。
(5)大作业占过程考核的20%,从完成情况、工作量、作业文档方面评分。
第一类:绘制图形。(B级)
问题一:斐波那契(Fibonacci)螺旋线,也称黄金螺旋线(Goldenspiral),
是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案,
是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线,以斐波那契数为边的正方形拼
成的长方形,然后在正方形里面画一个90度的扇形,连起来的弧线就是斐波那契
螺旋线,如图所示。
问题二:绘制谢尔宾斯基三角形(Sierpinskitriangle)是一种分形,由波兰
数学家谢尔宾斯基在1915年提出,它是一种典型的自相似集。其生成过程为:取一
个实心的三角形(通常使用等边三角形),沿三边中点的连线,将它分成四个小三:.
角形,然后去掉中间的那一个小三角形。接下来对其余三个小三角形重复上述操作,
如图所示。
问题三:其他分形曲线或图形。分形曲线还有很多,教材介绍了科赫曲线,其
他还有皮亚诺曲线、分形树、康托()三分集、Julia集、曼德布罗集合
(Mandelbrotset),等等。这方面的资料很多(如),请分析构图原理并用MATLAB
实现。
问题四:模拟掷骰子游戏:掷1000次骰子,统计骰子各个点出现的次数,将结
果以下表的形式显示,并绘制出直方图。
点数123456
出现次数166150164162184174
问题五:利用MATLAB软件绘制一朵鲜花,实现一定的仿真效果。
提示:二维/三维绘图,对花瓣、花蕊、叶片、花杆等的形状和颜色进行详细设
置。
第二类:插值与拟合。(B级)
问题一:有人对汽车进行了一次实验,具体过程是,在行驶过程中先加速,然
后再保持匀速行驶一段时间,接着再加速,然后再保持匀速,如此交替。注意,整
个实验过程中从未减速。在一组时间点上测得汽车的速度如表所示。
t020405668808496104110
v02020388080100100125125
(1)分别使用最近点插值、线性插值、三次埃尔米特插值和三次样条插值进
行计算[0,110]时间段50个时间点的速度。
(2)绘制插值图形并标注样本点。
问题二:估算矩形平板各个位置的温度。已知平板长为5m,宽为3m,平板上3
×5栅格点上的温度值为44,25,20,24,30;42,21,20,23,38;25,23,19,
27,40。:.
(1)分别使用最近点插值、线性插值和三次样条插值进行计算。
(2)用杆图标注样本点。
(3)绘制平板温度分布图。
问题三:自行车道的设计。对9条道路上的自行车道宽度以及自行车与过往机
动车之间的平均距离进行测量,数据如表所示。
距离(m)3
车道宽度(m)
(1)对数据进行线性拟合。
(2)绘制拟合曲线和样本点。
(3)如果自行车与过往机动车之间安全距离的最小距离是,试计算相应的自
行车道宽度的最小值。
问题四:在水资源工程学中,水库的大小与为了蓄水而拦截的河道中的水流速
度密切相关。对于某些河流来说,这种长时间的历史水流记录很难获得。然而通常
容易得到过去若干年间关于降水量的气象资料。鉴于此,推导出流速与降水量之间
的关系式往往特别有用。只要获得那些年份的降水量数据,就可以利用这个关系式
计算出水流速度。下表是在被水库拦截的某河道中测得的数据。
降水量(cm)12794
流速(m3/s)
(1)对数据进行线性拟合。
(2)绘制拟合曲线和样本点。
(3)如果某年的降水量是120cm,利用拟合直线估算当年的水流速度。
(4)若流域面积为1100km2,估计在其他过程中,如蒸发、深层地下水渗透和
消耗用途,损失的降水量占总体降水量的比例。
问题五:假设有已知实测数据如下表所示:
x:.
y
假设已知该数据可能满足的原型函数为y(x)=ax+bx2e−cx+d,试求出满足数据的
最小二乘解a,b,c,d的值。
提示:曲线拟合并绘图分析
第三类:定积分问题。(B级)
问题一:地球密度随着离中心(r=0)距离的变化而变化,不同半径处的密度
如表所示,试估算地球质量。
r(km)01100150024503400363045005380606062806380
ρ(g/cm3)13123
问题二:河道平均流量Q(m3/s)可使用速度和深度的乘积的积分来计算(河
道横截面不规则),公式如下。
Q=∫()()
0
其中V(x)是离岸x(m)距离处的水速(m/s),H(x)是离岸x距离处的水深(m)。
根据收集到的河道离岸不同距离处的水速V和水深H(如表所示),估计流量。
x09
V00
x069
H0
第四类:线性方程组求解。(B级)
问题一:多项式插值指的是采用唯一的n-1次多项式对n个数据点进行拟合。
该多项式的一般形式为:
p(x)=pxn-1+pxn-2+…+px+p
12n-1n
确定这些系数的一种直接方法是,建立n个线性代数方程,然后求解。已知一
个四次多项式通过5个点,如表所示。
x200250300400500
y:.
(1)建立线性方程组,并求解得到多项式的系数。
(2)计算该线性方程组系数矩阵的条件数,并进行解释。
(3)绘制多项式曲线并求其零点。
问题二:如图所示,5个反应器通过导管连接在一起。每根导管中化学物的传
输率等于流速(Q,单位是m3/s)乘以化学物浓度(c,单位是mg/m3)。若系统达
到稳定状态,流入和流出每个反应器的质量相等。例如,对于第一个反应器来说,
质量守恒可表示为:
Qc+Qc=Qc+Qc
0101313151121
(1)使用LU分解计算平衡方程系数矩阵的逆矩阵。
(2)求各反应器中化学物的稳态浓度。
问题三:静定桁架受力分析。
(1)如图所示,求力和反作用力。
(2)求受力平衡方程系数矩阵的逆矩阵,对于逆矩阵第二行中的零,作何解
释。
(3)将节点1的力改为方向向上,计算这种改变对H和V的影响。
22
(4)将节点1的力撤销,而在节点1和2处施加1500N的水平外力,求节点3
处垂直反作用力(V)。
3
第五类:一元方程求解。(B级)
问题一:在热力学中,下列多项式将干燥空气的零压力比热c(单位为kJ/(kgK))
p
与温度(单位为K)关联起来了:
C=+×10-4T+××10-11T3+×10-14T4
p
(1)绘制在T=0~1200K范围内,c随温度变化的曲线。
p
(2)求对应于(kgK)比热的温度。:.
问题二:在化学工程中,将水蒸汽(HO)加热到足够高的温度,使得大部分水
2
发生分解或分离而形成氧气(O)和氢气(H):
22
→1
HO←H+O
2222
如果假定其中只存在这一种化学反应,那么已经发生分解的HO所占比列x可以表示为:
2
2
K=√
1−2+
其中K为该反应的平衡系数,P为混合物的总压强。如果P=4,且K=,那么求满足该式子的x值。
tt
第六类:最优化问题。(B级)
问题一:最大利润问题。某公司生产两种产品的产量分别为x,ykg,其相应的
成本满足以下函数:
C(x,y)=x2+2xy+2y2+2000
已知产品x的价格为200元/kg,产品y的价格为300元/kg,并假定两种产品
全部售完,试求使公司获得最大利润产品产量以及公司的最大利益润。
问题二:作用在螺旋桨上的总阻力可以通过下式估计:

D=+()
σ
摩擦力升力
其中,D=阻力,σ=飞行高度与海平面之间的大气密度比(ratioofairdensity),
W=重量,V=速度。
如图所示,当速度增加时,对阻力的两个部分受到的影响是不同的。摩擦阻力
随速度的增加而增加,但由升力引起的阻力却随速度的增加而下降。二者的结合导
致一个最小的阻力。
(1)如果σ=、W=16000,求最小阻力及阻力最小时的速度值。
(2)进行敏感性分析以确定当W为12000~20000的过程中,最优值是如何变
化的,取σ=。
螺旋桨上阻力与速度的关系图:.
问题三:如图所示,一个梯子通过支撑角分别与两个面接触,梯子的最大可能
长度可以通过计算下面函数取值最小时的θ值而确定。
1+2
L(θ)=
sinθsin(−−)
对于==2m的情况,绘制L随变化的图形,其中的取值范围为45°
12
~135°。
通过一个墙角连接两个墙面的梯子
问题四:对于一架稳定水平航行的喷气机,推力与阻力平衡,升力与重力平衡
(如图所示)。在这种情况下,当阻力与速度的比例最小时,会出现最佳巡航速度。
阻力可以用下式计算:
2
=C+
C
0?
其中C是零升力时的阻力系数,是升力系数,AR是展弦比。在稳定水平
0
飞行的
情况下,升力系数可以用下式计算:
2
=
2
其中W是喷气机重量(N),是空气密度(kg/m3),是速度(m/s),?A是机
翼平面面积(m2),然后阻力可以用下式计算:
=W
在稳定水平飞行中,喷气机受到的四个主要力
使用这些公式,确定在海平面上10千米飞行的670kN喷气机的最佳稳定
巡航速度。在计算中应用以下参数:A=150m2,AR=,C=,=。
0
问题五:某公司经营两种设备,第一种设备每件售价29元,第二种设备每件售
价455元。根据统计,售出第一种设备一件所需的营业时间平均为小时,第二种设:.
备是(2+*X2),其中X2是第二种设备的售出数量。已知该公司在这段时间内的总
营业时间为800小时,试确定使营业额最大的营业谋划。
提示:即两种设备各准备售出多少件,使得在规定的营业时间里营业额最大。
这是一个有约束的最优化问题求解,考虑用fmincon函数
问题六:某车间生产A、B两种产品,已知生产产品A、B需要原料分别为3公
斤和4公斤,所需的工时分别为5分钟和3分钟,现在可以应用的原料为120公斤,
工时为150分钟,每生产一件A和B分别可获得7元和5元的利润,应当如何安排
生产A、B的件数,才能使车间获得最大利润?
提示:线性规划问题,考虑用linprog函数
问题七:某种作物在全部生产过程中至少需要32公斤氮,磷以24公斤为宜,钾不
得超过42公斤。现有甲、乙、丙、丁4种肥料,各种肥料的单位价格及含氮、磷、
钾的数量如下表所示:
各种肥料的单位价格及含氮、磷、钾的数量(单位:kg)
各种元素及价格甲乙丙丁
氮0
磷0
钾00
价格
请问,应如何配合使用这些肥料,使得既能满足作物对氮、磷、钾的需要,又
能使施肥成本最低?
提示:线性规划问题,考虑用linprog函数
第七类:常微分方程求解。
问题一(B级):生活在南非克鲁格国家公园的黑斑羚种群x(t)可以用如下方
程来建模。
dx/dt=(r-bxsinat)x:.
其中r,b和a是常数,输入它们的值和x的初值,计算两年时间内每个月的
黑斑羚种群数量,并绘制变化曲线。
问题二(A级):80kg的伞兵(paratrooper)在600m高度从飞机跳落,5s后降
落伞打开,作为时间函数的伞兵高度y(t)由如下方程给出:
y=−g+α()/
y?(0)?=?600?m
(0)=0/
其中,g=s2为重力加速度,m=80kg为伞兵质量。空气阻力α(t)和速度平方成
比例,但降落伞打开前后取不同的比例常数。
()2,t<5
(){1
α=
()2,t≥5s
2
(1)在K=0,K=0的假设下,求自由落体的解析解。问:降落伞在什么高度打
12
开?需多长时间到达地面?着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线,并对
图形作适当的标注。
(2)在K=1/15,K=4/15的情况下,问:降落伞在什么高度打开?需多长
12
同问到达地面?着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线,并对图形作适当
标注。
问题三(A级):在以水平x轴、垂直y轴、发射点为原点的静态直角坐标系
中,确定球形炮弹的轨迹。在此坐标中,发射体初速度大小为,且和x轴之间的
0
角度为弧度。发射体仅受重力和空气阻力D的影响。气动阻力取决于或许存在的
0
任何风力。描述发射体运动的方程如下:
x=νcos,y=νsinθ,
θ=−cos,=−−gsin.
该问题的常数有重力加速度g=s2,质量m=15kg,初速度=50m/s。假设风
0
向为水平、风速为特定时间函数w(t)。气动阻力正比于炮弹相对于风速之平方::.
D()=((−w(t))2+2),
2
式中,阻力系数c=,空气密度ρ=m3,炮弹截面面积s=m2。考虑下面四种不同
的风力条件:
无风,始终有w(t)=0.
稳定逆风,始终有w(t)=-10m/s.
间歇顺风,时间t的整数部分为偶数时,w(t)=10m/s;否则为零。
阵风,w(t)是均值为O、标准差为10m/s的高斯随机变量。
在MATLAB中,实数t的整数部分用floor(t)函数计算。O均值σ标准差的高
斯随机变量可由randn函数产生。对于这四种风力条件的每种情况,进行如下计算:
求17条运动轨迹,初始角为5度的倍数,即θ=kπ/36,k=1,2,...,17。把17
0
条轨迹画在同一幅图上。请确定,哪条轨迹的射程最远,并说出该轨迹的初始角度、
飞行时间、射程、落地速度以及求解该方程所需的计算步数。
四种风力条件中的哪个需要的计算量最多?为什么?
问题四(A级):在1968年墨西哥奥林匹克运动会上,BobBeamon创造了一项
跳远(longjump)世界纪录。它比前世界纪录多了。从那以后,该记录仅在1991年
于东京举行的比赛中被MikePowell以打破一次。在Beamon不可思议的一跳之后,
有些人认为2250m海拔的墨西哥城的较低空气阻力是贡献因素。本题就研究这种可
能性。
本题的数学模型和前面的炮弹轨迹模型相同。固定的直角坐标系有水平x轴、
垂直y轴,且以起跳板为原点。运动员起跳初速度的大小为,与x轴的夹角为
00
弧度。起跳后仅受重力和气动阻力D作用。D正比于速度大小的平方。在无风情况
下,跳远运动描述方程如下:.
x=νcos,y=νsinθ,
θ=−cos,=−−gsin.
气动阻力为
D=(2+2)
2
本题所用常数重力加速度g=s2,质量m=80kg,阻力系数c=,跳远运动员的截
面积为m2,起跳角度=°=π/8弧度。
0
请用不同初速度和空气密度ρ,计算四种不同的跳远。每次跳远长度为:
0
x(t),而腾空时长t由条件y(t)=O决定。
(1)高海拔处的标称跳远。=10m/s,ρ=m3。
0
(2)海平面处的标称跳远。=10m/s,ρ=m3。
0
(3)高海拔处短跑选手跳法。ρ=m3。请确定跳远长度达到Beamon的纪录所需
的初速度。
0
(4)海平画处短跑选手跳法。ρ=m3,以及由(3)算得的初速度。请用你
0
的计算结果完成下列表格的填写。
Theta0RhoDistance
0
???
???
???
??????
空气密度和起跳初速度,哪个影响更大?