人教版初一数学上册知识点.pdf

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初一上册数学知识点
第一章有理数
知识点一:有理数的分类
正整数
正有理数含正有限小数和无限循环小数
正分数
零
有理数
负整数
负有理数含负有限小数和无限循环小数
负分数
有理数的另一种分类
正整数
自然数
0
整数
负整数
有
理
数
正分数
分数
负分数
想一想:零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是
自然数吗?
零是整数;自然数一定是整数;自然数不一定是正整数,因为零也是自然数;
整数不一定是自然数,因为负整数不是自然数。
判断正误:
①不带“-”号的数都是正数()
②如果a是正数,那么-a一定是负数()
③不存在既不是正数,也不是负数的数()
④0℃表示没有温度()
知识点二:数轴
1、填空
1:.
①规定了唯一的原点,正方向和单位长度(三要素)的直线叫做
数轴。
②比-3大的负整数是_______;已知m是整数且-4<m<3,则m为___________。
③有理数中,最大的负整数是____,最小的正整数是____。最大的非正数是____。
④与原点的距离为三个单位的点有____个,他们分别表示的有理数是________。
2、请画一个数轴,并检查它是否具备数轴三要素?
3、选择题
①在数轴上,原点及原点左边所表示的数是()
A整数B负数C非负数D非正数
②下列语句中正确的是()
A数轴上的点只能表示整数B数轴上的点只能表示分数
C数轴上的点只能表示有理数D所有有理数都可以用数轴上的点表示出
来
知识点三:相反数
相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点
两侧且离原点距离相等。
1、填空
①-2的相反数是;它的倒数是;它的绝对值
是。
②|-3|的相反数是;它的倒数是;它的绝对值
是。
③相反数是它本身的数是0;倒数是它本身的数是1和-1;绝对
值是它本身的数是非负数。
2、选择
①若a和b是互为相反数,则a+b=()
A、–2aB、2bC、0D、任意有理数
②下列说法正确的是()
A、–1/、4的相反数是-
C、-、-
③用-a表示的数一定是()
A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对
④一个数的相反数是最小的正整数,那么这个数是()
2:.
A、–1B、1C、±1D、0
3、判断
①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁()
②在一个数前面添上“-”号,它就成了一个负数()
③只要符号不同,这两个数就是相反数()
x12x3
4、计算:已知和的值互为相反数,求x的值。
34
知识点四:绝对值
1、绝对值的几何意义:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2、绝对值的代数定义:(1)一个正数的绝对值是它本身;(2)一个负数数的绝
对值是它的相反数;(3)0的绝对值是0;(4)|a|大于或者等于0。
3、比较两个数的大小关系
数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从大到小的
顺序,即左边的数小于右边的数。由此可知:(1)正数大于0,0大于负数,
正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。
1、化简
(1)-|-2/3|=_____;
(2)|-|-|+|=___;
(3)1-|-1/2|=___;
(4)-1-|1-1/2|=______。
3、填空题。
①若|a|=3,则a=____;|a+1|=0,则a=____。
②若|a-5|+|b+3|=0,则a=___,b=___。
③若|x+2|+|y-2|=0,则x=___,y=___。
④绝对值小于2的整数有________。
3:.
⑤绝对值等于它本身的数有___________。
⑥绝对值不大于3的负整数有__________。
⑦数a和b的绝对值分别为2和5,且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧,
则b的值为。
⑧,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1这组数按从大到小的顺序排列,
并用“>”号连接。
知识点五:有理数加减法
1、有理数的加、减法法则
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝
对值减去较小的绝对值。
②互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加,仍得这个数。
④减去一个数,等于加上这个数的相反数。
2、计算
2131
(1)

3344
(2)4028(19)(24)(32)
2411
(3)
3523
(4)(12)(25)18(10)
1
(5)8()5()
4
知识点六:乘除法法则
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。0乘以任何数,
都得0。
4:.
②几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,负因数的个数为偶数
时,积为正;负因数的个数为奇数时,积为负。
③两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个
不等于0的数,都得0。
④有理数中仍然有:乘积是1的两个数互为倒数。
⑤除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
知识点七:乘方
乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
an
中,底数是a,指数是n,幂是乘方的结果;读作:a的n次方或a的n次
幂。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任
何正整数次幂都是0。
1、填空
①23中,底数是;指数是;结果是;读
作:。
②(-2)2中,底数是;结果是。
③5中,底数是;指数是。
22

④中,底数是;指数是;幂是。
3
⑤18表示个相乘,结果是。
2、计算:
32=;-23=;-14=;
(-3)2=;05=;=.
知识点八:运算律及混合运算
1、基本知识
❖加法交换律:abba
❖乘法交换律:abba
❖加法结合律:
abcabc
❖乘法结合律:
abcabc
❖乘法分配律:abcabac
❖有理数混合运算顺序:先乘方;再乘除;最后算加减。
5:.
有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
同级运算,从左到右进行。
2、计算

(12)(3)
2.(7)(5)90(15)
3.(48)8(25)(6)
23
4.42()()()
34
知识点九:科学记数法近似数
把一个大于10的数表示成a10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,
即1≤|a|<10,n是正整数),使用的是科学记数法。如:57000000107。
知识点十:近似数
1、近似数:在一定程度上反映被考察量的大小,能说明实际问题的意义,与准
确数非常地接近,像这样的数我们称它为近似数。
2、近似数的分类:
(1)具体近似数(、…)(2)带单位近似数(…)
(3)科学记数法(105…)
3、精确度:用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数,有一个近似程
度的问题,这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看
精确度得到原数中去看在哪一位上,如:,而非十分位,
万就是24000,4在千位上)。
4、有效数字:对于一个不为0的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到末
尾数止,所有数字都是这个近似数的有效数字。
求近似数要求保留n个有效数字时,第n+1个有效数字作四舍五入处理。
例:、0、9,要求保留2个有效数字时,
三个有效数字9四舍五入,,保留两个有效数字1、1后求出近似数
≈。
5、计算
按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
6:.
(1)(/)
(2)(精确到个位/)
(3)(保留3个有效数字)
第二章整式的加减
知识点一:整式的相关概念
代数式中的一种有理式:不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,
但除式或分母中不含变数者,则称为整式。(分母中含有字母有除法运算的,那
么式子叫做分式)
2
:数或字母的积(如5n,ab,x2等),单个的数或字母也是单
3
项式。
(1)单项式的系数:单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。(如
果一个单项式,只含有数字因数,系数是它本身,次数是0)。
(2)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的
次数(非零常数的次数为0)。

(1)概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中,每个单项式叫做多项
式的项,其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
(2)多项式的次数:多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次
数。
(3)多项式的排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式
按这个字母降幂排列;把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起
来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项
的性质符
看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
。
,还是升幂排列。
7:.
3、整式:单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项:
(1)数与字母相乘,或字母与字母相乘通常使用“·”乘,或省略不写;
(2)数与数相乘,仍应使用“×”乘,不用“·”乘,也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时,一般在结果中把数写在字母前面,如a×5应写成5a;
13
(4)带分数与字母相乘时,要把带分数改成假分数形式,如a×1应写成a;
22
3
(5)在代数式中出现除法运算时,一般用分数线将被除式和除式联系,如3÷a写成的形
a
式;
(6)a与b的差写作a-b,要注意字母顺序;若只说两数的差,当分别设两数为a、b时,
则应分类,写做a-b和b-a.
知识点二:整式的加减运算
:所含字母相同,并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项,
几个常数项也是同类项。(同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关)。
:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则:同类项
的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作
为一项,不可遗漏
,合并同类项。
注:去括号时,如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来
的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的
符号相反。一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类
项。
4、几个重要的代数式:(m、n表示整数)
(1)a与b的平方差是:a2-b2;a与b差的平方是:(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整数,则两位整数是:10a+b,则三位整数是:100a+10b+c;
(3)若m、n是整数,则被5除商m余n的数是:5m+n;偶数是:2n,
奇数是:2n+1;三个连续整数是:n-1、n、n+1;
(4)若b>0,则正数是:a2+b,负数是:-a2-b,非负数是:a2,非正数
是:-a2.
8:.
补充例题如下:
9:.
第三章一元一次方程
知识点一:方程的相关概念
等式:表示相等关系的式子。
方程:含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。
方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程:求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。
一元一次方程:只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的
方程。
同解方程:两方程的解相同。
知识点二:等式的性质
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
即:如果ab,那么acbc。
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
ab
即:如果ab,那么acbc;如果ab(c0),那么。
cc
知识点三:解一元一次方程
一般解法:
ⅰ去分母:两边同乘以各分母的最小公倍数;
ⅱ去括号;
ⅲ移项:移项要变号;
ⅳ合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
10:.
ⅴ系数化为1:两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。
一元一次方程的应用(重点难点):
列方程解应用题的关键是:仔细审题,找出能正确表达题目整体数量关系的一个
相等关系,再设未知数,并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。
几种常见问题:
:这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”
“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。
:三个基本量的关系路程=速度×时间
(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=
一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同);
(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路
程=一圈的长度。
:三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间
一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1/工作时间(各个量一
定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的
效率之和。
:利润=售价-成本=成本×利润率;利润率=利润÷成本;实际售价=
标价×折扣率。
:例:某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母,每人每天平均
生产螺栓120个或螺母200个,一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据),
应该分配多少名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产的产品刚
好配套?
:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度。
应用举例:
,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1/
4,请问这本书一共有多少页?
等量关系:已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-
已读的)。
%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比()
%%%
注意:不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降
10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。
,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,
(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
11:.
(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以
等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×
时间x乙的路程=乙的速度×时间x得到方程:9x+7x=400
(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,
所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的
路程-乙的路程=400。
,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天
分析:合作时间=工作量/合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效
率
甲的效率=工作量/甲的时间=1/x乙的效率=工作量/乙的时间=1/y
∴合作时间=1/(1/x+1/y)
,按标价的9折销售时,%,这种商
品每件标价多少元?
分析:设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)=利润率(已知
%)
利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250
∴(90%x-250)/250=%
练****小明、小红买工具,所带钱之比为7:6,小明用掉50元,小红用掉60
元,两人余下钱之比为3:2,,求他们分别余下多少钱?
第四章图形认识初步
知识点一:几何图形
1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形。如长方体、正
方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。
3、有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。如线段、角、三
角形、长方形、圆等。
4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形,但是立体图形中某些部分
是平面图形,对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究和处理。
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平
12:.
面图形,这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。
知识点二:点、线、面、体
1、立体图形是几何体,简称体;包围着体的是面,面有平面和曲面;面和面相
交的地方形成线,线有直线和曲线;线和线相交的地方是点。
2、几何图形都是由点、线、面、体组成,点是构成图形的基本元素。
知识点三:直线、射线、线段
1、线段:直线上两个点和它们之间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点。
射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系:点p在直线a上(或说直线a经过点p);
点p不在直线a上(或说直线a不经过点p)。
过一点可画无数条直线,过两点有且仅有一条直线。简述为:两点确定一条
直线。
3、线段的中点:把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中,线段最短,简述为:两点之间,线段最短。
两点间的距离:连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较:⑴度量法;⑵叠合法
判断:①两点间的距离是指两点间的线段。()
②两点间连线的长度叫这两点间的距离。()
知识点四:角
角:由两条具有公共端点引出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转
而成)。
角的表示:三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一
个希腊字母。m
角的要素:顶点和边,角的大小与边的长短无关。
角的单位:度,分,秒①1°的60分之一为1分,记作n1′,即1°=60′
②1′的60分之一为1秒,记作1″,即1′=60″
角的大小比较:⑴度量法;⑵叠合法。
角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个等角,这条射线叫
角平分线。
余角和补角:如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角;如果
两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角。
性质:等角的补角相等;等角的余角相等。
题型一:作图题
13:.
例1、已知:线段m、n。(如图)
求作:线段AC,使AC=m-n。
作法:(1)作射线AM;
(2)在射线AM上截取AB=m。
(3)在线段AB上截取BC=n。
则线段AC就是所求作的线段。
题型二:线段的分类考虑
例2已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC,使它等于3cm,求线段AC的
长.
解:本题分两种情况:
如图4—4—9所示,当点C在线段AB的延长线上时,
AC=AB+BC=8+3=11(crn);
如图4—4—10所示,当点C在线段AB上时,
AC=AB-BC=8—3=5(cm).
所以线段AC的长为11cm或5cm.
例3经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是()

解析:这道题要分两种情况考虑:一是这三点都在一条直线上时,就只能画
出一条直线;二是这三点不在同一条直线上时,
案:A
题型三:两角互补、互余定义及其性质的应用
例4一个角的补角是这个角的4倍,求这个角的度数.
解:设这个角是x°,则它的补角是(180-x)°.
由题意,得180-x=4x,解得x=°.
14:.
点拨
本题主要考查补角定义的应用,数学中利用方程、转化思想,可将“形”的
问题转化为“数”的问题研究,从而简捷解决问题.
例5如果一个角的补角是120°,那么这个角的余角是()
°°°°
解析:本题是对余角、补角的综合考查,先根据这个角的补角是120°,求
出这个角是60°,再求出它的余角是30°.答案:A
例6根据补角的定义和余角的定义可知,10°的角的补角是170°,余角是80°;15°
的角的补角是165°,余角是75°;32°的角的补角是148°,余角是58°.….
观察以上各组数据,你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、
32°的角来说明你的结论.
解:结论为:一个角的补角比这个角的余角大90°.
说明:设任意角是α(0<α<90°),α的补角是180°-α,α的余角是
90°-α,
则(180°-α)-(90°-α)=90°.
题型四:角的有关运算
例7如图4—4—3所示,AB和CD都是直线,∠AOE=90°,
∠3°=∠FOD,∠1=27°20′,求∠2、∠3的度数.
解:因为∠AOE=90°,
所以∠2=90°-∠1=90°-27°20′=62°40′.
又因为∠AOD=180°-∠1=152°40′,∠3=∠FOD,
1
所以∠3=∠AOD=76°20′.
2
所以上2=62°40′,∠3=76°20′.
例8如图4—4—4所示,OB、OC是∠AOD内任意两条射线,
OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,
用α、β表示∠AOD.
解:因为∠MON=α,∠BOC=β,
所以∠BOM+∠CON=∠MON-∠BOC=α-β
又OM平分∠AOB,ON平分∠COD,
所以∠AOB+∠COD=2∠BOM+2∠CON
=2(∠BOM+∠CON)=2(α-β),
所以∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=2(α-β)+β=2α-β.
例9(1)用度、分、°.
(2)32°44′24″等于多少度?
(3)计算:133°22′43″÷3.
解:(1)°=60′×=′,′=60″×=12″,
°=54°7′12″.
11
(2)因为24″=()′×24=′,′=()°×=°,
6060
所以32°44′24″=°.
(3)133°22′43″÷3=(132°+82′)÷3+43″÷3=44°+82′÷3+43″÷3
=44°+(81′+1′)÷3+43″÷3=44°+27′+1′÷3+43″÷3
=44°+27′+103″÷3≈44°+27′+3″=44°27′3″.
15:.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、
是60进制的,和计量时间的时、分、,要将度、分、秒分别相
加、相减,分、秒逢60要进位,而相减不够时要借1作60;度、分、秒形式乘
一个数时,要将度、分、秒分别乘这个数,分、秒逢60进位;度、分、秒形式
除以一个数时,也是将度、分、秒分别除以这个数,不过要将高位的
余数转化成低位,与原位上的数相加后再除以这个数.
题型五:钟表的时针与分针夹角问题
例10、15:25时钟面上时针和分针所构成的角是度.
解析:起始时刻定为15:00(下午3点整时,时针和分针构成的
角是90°),终止时刻为15:25,从图4—4—5中可以看出分针从12
转到5用了25分钟,转了6°×25=150°,°×25=°,
所以15:25时钟面时针和分针所构成的角为150°-90°-°=
°.答案:
点拨:解决此类问题时要选择恰当的起始时刻,注意时针和分针同时在运动,并
30360
牢记时针每分钟转==,分针每分钟转=6°.
6060
例11、从3时到6时,钟表的时针旋转角的度数是()
°°°°
考点突破:此类题是近几年中考中的热点问题,
决此类问题需明确:在钟表上,1分钟分针走6°,1小时时针走30°.
题型六:方位角
例12、如图4—4—24所示,一只蚂蚁从O点出发,沿北偏东
30°,碰到障碍物B后,又沿西北方向爬行3
cm到达C处.
(1)画出蚂蚁爬行的路线;
(2)求∠OBC的度数;
(3)测出线段OC的长度().
解:(1)蚂蚁爬行的路线如图4—4—25所示.
(2)因为蚂蚁从O点出发沿北偏东30°
达B处,即∠OBD=30°,则∠ABO=60°.
又因为蚂蚁到达B处后又沿西北方向爬行了3cm,即∠ABC
=45°.
所以∠OBC=∠ABO+∠ABC=60°+45°=105°.
(3).
题型六:折叠问题
16:.
例12:如图,长方形纸片ABCD,点E、F分别在边AB、CD上,∠BEF
对折,点B落在直线EF上的点B'处,得折痕EM;将∠AEF对折,点A落在直线
EF上的点A'处,得折痕EN,求∠NEM的度数.
解:由折纸过程可知,EM平分∠BEB',EN平∠AEA',
A'
DC
F