二元一次方程组知识点归纳 1.pdf

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1、二元一次方程得定义:含有两个未知数,并且未知数得项得次数都就是1,像这样得方程叫做二元一
次方程。
2、二元一次方程组得定义:把具有相同未知数得两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次
方程组、
注意:二元一次方程组不一定都就是由两个二元一次方程合在一起组成得!也可以由一个或多个二元一次方程单独组
成。
3、二元一次方程组得解:一般地,使二元一次方程两边得值相等得两个未知数得值,叫做二元一次方程
得解,二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组得解:一般地,二元一次方程组得两个方程得公共解,叫做二元一次方程组得解。
+y=5①6x+13y=89②x=—24/7y=59/7为方程组得解
2、有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上就是一个方程(亦
称作“方程有两个相等得实数根"),所以此类方程组有无数组解。
+y=4①2x+2y=10②,因为方程②化简后为x+y=5这与方程
ﻫ。①相矛盾,所以此类方程组无解
一般解法,消元:将方程组中得未知数个数由多化少,逐一解决。
消元得方法有两种:
代入消元法:把二元一次方程组中一个方程得未知数用含另一个未知数得式子表示出来,再代入另一
个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组得解、这个方法叫做代入消元法,简称代入法。
例:解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解:由①得x=5—y③
把③带入②,得6(5-y)+13y=89y=59/7
把y=59/7带入③,x=5—59/7即x=-24/7∴x=-24/7
y=59/7为方程组得解
基本思路:未知数又多变少、
消元法得基本方法:将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组得一般步骤:
1、从方程组中选出一个系数比较简单得方程,将这个方程中得一个未知数(例如y)用含另一
个未知数(例如x)得代数式表示出来,即写成y=ax+b得形式,即“变"
2、将y=ax+b代入到另一个方程中,消去y,得到一个关于x得一元一次方程,即“代"。
3、解出这个一元一次方程,求出x得值,即“解"。
4、把求得得x值代入y=ax+b中求出y得值,即“回代”
5、把x、y得值用{联立起来即“联"
加减消元法:像这种解二元一次方程组得方法叫做加减消元法,简称加减法、
例:解方程组x+y=9①
x—y=5②
解:①+②2x=14即x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=—2∴x=7
y=—2为方程组得解
用加减消元法解二元一次方程组得解
6、方程组得两个方程中,如果同一个未知数得系数既不互为相反数幼不相等,那么就用适当
得数乘方程两边,使同一个未知数得系数互为相反数或相等,即“乘"。
7、把两个方程得两边分别相加或相减,消去一个未知数、得到一个一元一次方程,即“加减”。
8、解这个一元一次方程,求得一个未知数得值,即“解”。
9、将这个求得得未知数得值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数得值即“回
代"。
10、把求得得两个未知数得值用{联立起来,即“联”。
注意:用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有得几种解法
(一)加减-代入混合使用得方法。
例1,13x+14y=41(1)
14x+13y=40(2)
解:(2)-(1)得x—y=—1x=y—1(3)
把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y—13+14y=4127y=54y=2把y=2
代入(3)得x=1所以:x=1,y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来得代入消元、
(二)换元法
例2,(x+5)+(y—4)=8(x+5)—(y—4)=4
令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m—n=4解得m=6,n=2所以x
+5=6,
y-4=2所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同得代数式,如题中得x+5,y-4之类,换元后可简化方程也就是主要原因。
(三)***换元
例3,x:y=1:45x+6y=29
令x=t,y=4t方程2可写为:5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4
★重点★
一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组得解法;方程得有关应用题(特别就是行程、工程问题)
☆内容提要☆
二、解方程得依据—等式性质1。a=b←→a+c=b+c2、a=b←→ac=bc(c≠0)
三、解法
1、一元一次方程得解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2、元一次方程组得解法:⑴基本思想:“消元"⑵方法:①代入法②加减法
六、列方程(组)解应用题
列方程(组)解应用题就是中学数学联系实际得一个重要方面。
其具体步骤就是:
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量就是什么,未知量就是什么,问题给出与涉及得相等关系就是什么。⑵设元(未知数)。
①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数得代数式表示相关得量。
⑷寻找相等关系(有得由题目给出,有得由该问题所涉及得等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数就是相同得。
⑸解方程及检验、
⑹答案。
综上所述,列方程(组)解应用题实质就是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题得解决而导致实际问题得
解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后得作用。因此,列方程就是解应用题得关键。
二元一次方程组练****题
一、选择题:
1、下列方程中,就是二元一次方程得就是()
A、3x-2y=4zB、6xy+9=0C、+4y=6D、4x=
2。下列方程组中,就是二元一次方程组得就是()
xy42a3b11x29xy8
A、B.C.D.
2x3y75b4c6y2xx2y4
3。二元一次方程5a-11b=21()
A、有且只有一解B、有无数解C、无解D。有且只有两解
4。方程y=1—x与3x+2y=5得公共解就是()
x3x3x3x3
A、B.C.D.
y2y4y2y2
5、若│x-2│+(3y+2)2=0,则得值就是()
A、-1B、-2C、-3D。
6、方程组得解与x与y得值相等,则k等于()
7。下列各式,属于二元一次方程得个数有()
①xy+2x—y=7;②4x+1=x—y;③+y=5;④x=y;⑤x2—y2=2
⑥6x-2y⑦x+y+z=1⑧y(y-1)=2y2-y2+x
A、1B、2C、3D、4
8、某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x得2倍少2人,•则下面所列得方程组中符合
题意得有()
xy246xy246xy216xy246
A、B.C.D.
2yx22xy2y2x22yx2
二、填空题
9、已知方程2x+3y-4=0,用含x得代数式表示y为:y=_______;用含y得代数式表示x为:x=_
_______。
10。在二元一次方程-x+3y=2中,当x=4时,y=_______;当y=-1时,x=______。
11、若x3m-3-2yn—1=5就是二元一次方程,则m=_____,n=______、
12、已知就是方程x-ky=1得解,那么k=_______、
13、已知│x-1│+(2y+1)2=0,且2x-ky=4,则k=_____、
14、二元一次方程x+y=5得正整数解有______________、
15、以为解得一个二元一次方程就是_________、
16、已知得解,则m=_______,n=______。
三、解答题
17、当y=-3时,二元一次方程3x+5y=-3与3y-2ax=a+2(关于x,y得方程)•有相同得解,求a得
值、
18、如果(a-2)x+(b+1)y=13就是关于x,y得二元一次方程,则a,b满足什么条件?
19、二元一次方程组得解x,y得值相等,求k、
20、已知x,y就是有理数,且(│x│-1)2+(2y+1)2=0,则x—y得值就是多少?
21、已知方程x+3y=5,请您写出一个二元一次方程,•使它与已知方程所组成得方程组得解为。
22、根据题意列出方程组:
(1)明明到邮局买0、8元与2元得邮票共13枚,共花去20元钱,•问明明两种邮票各买了多少枚?
(2)将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;•若每个笼里放5只,则有一笼无鸡
可放,问有多少只鸡,多少个笼?
23。方程组得解就是否满足2x-y=8?满足2x—y=8得一对x,y得值就是否就是方程组得解?
24、(开放题)就是否存在整数m,使关于x得方程2x+9=2-(m-2)x在整数范围内有解,您能找到几
个m得值?您能求出相应得x得解吗?
题型五:列二元一次方程组解决增长问题
6、某中学现有学生4200人,计划一年后初中在校学生增加8%,高中在校学生增加11%,这样全校在
校生将增加10%,则该校现在有初中生多少人?在校高中生有多少人?