4.图形变换.ppt

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华中科技大学机械学院CAD中心
吴义忠
cad.******@
主要内容
二维几何变换
二维齐次变换
观测变换
三维几何变换
投影变换

二维图形几何变换可通过矩阵运算实现,令:
称T为变换矩阵,有:
这里[x’,y’]为变换后点的坐标,[x,y]为变换前点的坐标,变换矩阵中a,b,c,d的不同取值,可以实现各种不同变换,从而达到对图形进行变换的目的。
二维图形的基本几何变换包括:
比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换等
在变换矩阵中,令b=c=0,
则比例变换为:
式中a,d分别为x,y方向上的比例因子
二维对称变换
对坐标轴的对称变换:
1)对y轴对称:
2)对X轴对称:
对坐标原点的对称变换:
对原点对称:
二维比例变换
二维旋转变换
在二维空间里,我们规定:图形的旋转是指绕坐标系原点旋转θ角,且逆时针为正,顺时针为负,变换矩阵为:
由式可知:
对右图字母T绕坐标原点进行旋转变换(旋转60°),则变换后的坐标为:
二维平移变换
来实现,但是,若实现平移变换,变换前后的坐标必须满足下面的关系:
上述四种变换都可以通过变换矩阵
式中△x,△y是平移量,应为常数,但是应用前述变换矩阵对点进行变换,则有:
上式中的cy,bx均非常量,因此用原来的2×2的变换矩阵是无法实现平移变换。
解决方法:将变换矩阵增加一行一列,则可对点进行平移变换

在平移变换中,我们将[xy]扩充为[xy1]实际上是由二维向量变为三维向量。
这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广,用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。
所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换,相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。
设三维空间点P的坐标为(x,y,z),它是唯一的。若用齐次坐标表示时,则为(hx,hy,hz,h),且不唯一。
齐次变换定义
齐次变换几何意义
将Oxy坐标系增加一与x轴和y轴正交的w轴。
在w=1的平面上有点P1(x,y,1),则当w由0变化到无穷时,齐次坐标Pw(xw,yw,w)将处在由OP1定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w=1平面上的交点,则任意(xwyw,w)的座标为:
二维齐次变换表示了在w=1平面上点的坐标变换,即P1到P1*的坐标变换。
二维齐次变换
二维齐次变换矩阵为:
其中2×2阶矩阵可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换;
1×2阶矩阵可以实现图形的平移变换;
2×1阶矩阵可以实现图形的***变换,
而[s]可以实现图形的全比例变换。
二维几何变换汇总表