中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础).docx

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中考总复****特别的四边形--知识解说(基础)
中考总复****特别的四边形--知识解说(基础)
中考总复****特别的四边形-知识解说(基础)
【考大纲求】
会辨别矩形、菱形、正方形以及梯形;
掌握矩形、菱形、正方形的观点、判断和性质,会用矩形、菱形、正方形的性质和判断解决问题.
掌握梯形的观点以及认识等腰梯形、直角梯形的性质和判断,会用性质和判断解决实质问题.【知识网络】
【考点梳理】
考点一、几种特别四边形性质、判断
性
质
判
定
四边形
边
角
对角线
1、有一个角是直角的平行四边形是矩
中
矩形
对边平行
四个角是直
相等且相互均分
形;
心、
且相等
角
2、有三个角是直角的四边形是矩形;
轴对
3、对角线相等的平行四边形是矩
称图
形
形
垂直且相互平
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱
中心
菱形
四条边相
对角相等,
分,每一条对角
形;
对称
等
邻角互补
线均分一组对角
2、四条边都相等的四边形是菱形;
图形
3、对角线相互垂直的平行四边形是菱
形.
相等、垂直、平
1、邻边相等的矩形是正方形
中
四条边相
四个角是直
分,并且每一条
2、对角线垂直的矩形是正方形
心、
正方形
等
角
对角线均分一组
3、有一个角是直角的菱形是正方形
轴对
对角
4、对角线相等的菱形是正方形
称图
形
等腰梯形

两底平
行,两腰
相等

同一底上的
两个角相等

相等

1、两腰相等的梯形是等腰梯形;
2、在同一底上的两个角相等的梯形是
等腰梯形;
3、对角线相等的梯形是等腰梯形

.

轴对
称图
形
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【重点解说】矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形,它们拥有平行四边形的全部性质考点二、梯形

.
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:
1)“平移腰”:把梯形分红一个平行四边形和一个三角形(图1);
2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中(图2);
(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中(图
3);
4)“延腰”:结构拥有公共角的两个三角形(图4);
5)“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延伸与下底延伸线交于一点,组成三角形(图5).
图1图2图3图4图5
【重点解说】解决梯形问题的基本思想和方法就是经过增添适合的协助线,,掌握这些协助线的使用对于学好梯形内容很有帮助.
特别的梯形
1)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
性质:(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等.
2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
3)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过两底中点的一条直线.
2)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
考点三、中点四边形有关问题
中点四边形的观点:把挨次连结随意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
若中点四边形为矩形,则原四边形知足条件对角线相互垂直;若中点四边形为菱形,则原四边形知足条件对角线相等;
若中点四边形为正方形,则原四边形知足条件对角线相互垂直且相等.
【重点解说】中点四边形的形状由原四边形的对角线的地点和数目关系决定.
【典型例题】
种类一、特别的平行四边形的应用
【高清讲堂:多边形与特别平行四边形例2】
在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于
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E、G、F、H四点,连结

EG、GF、FH、HE.
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(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明原因;
(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是;
(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是;
(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明原因

.
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【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的地点和数目关系决定.
【答案与分析】
(1)四边形EGFH是平行四边形;
证明:∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴点O是平行四边形ABCD的对称中心;
EO=FO,GO=HO;
∴四边形EGFH是平行四边形;
2)菱形;(提示:菱形的对角线垂直均分)
3)菱形;(提示:当AC=BD时,对四边形EGFH的形状不会产生影响,故结论同(2))
4)四边形EGFH是正方形;
证明:∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形;
又∵AC⊥BD,
∴平行四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC;
EF⊥GH,∴∠GOF=90°;
∴∠BOG=∠COF;
∴△BOG≌△COF(ASA);
OG=OF,∴GH=EF;
由(3)知四边形EGFH是菱形,
又EF=GH,
∴四边形EGFH是正方形.
【总结升华】主要考察了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质;娴熟掌握各特别四边形的联系和差别是解答此类题目的重点.
:在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,
中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法获得菱形AECF(见方案二).
1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的原因吗?
2)请你经过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪一种菱形面积较大?
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【思路点拨】(1)、要证所折图形是菱形,只需证四边相等即可.
2)、依据图形用面积公式计算S=30和S=,可知方案二小明同学所折的菱形面积较大.【答案与分析】
1)小颖的原因:挨次连结矩形各边的中点所获得的四边形是菱形,
小明的原因:∵ABCD是矩形,
AD∥BC,则∠DAC=∠ACB,
又∵∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB,∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB,
AE=EC=CF=FA,
∴四边形AECF是菱形.
(2)方案一:
S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4×1×6×5=30(cm)2,
22
方案二:
设BE=x,则CE=12-x,
∴AE=BE2
AB2
=
x2
25
由AECF是菱形,则
2
2
2
2
AE=CE∴x+25=(12-x),
x=119,24
S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2×1×5×119≈(cm)2,
224
比较可知,方案二小明同学所折的菱形面积较大.
【总结升华】此题考察了矩形的性质和菱形的判断,以及图形面积的计算与比较.
贯通融会:
【高清讲堂:
多边形与特别平行四边形
例6】
【变式】如图,点O是矩形ABCD的中心,E是AB上的点,沿CE折叠后,点B恰巧与点O重合,若BC=3,
则折痕CE的长为(
).
.
3
3
3

2
C.
【答案】A.
种类二、梯形的应用
如图,点C是线段AB上的一个动点,△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形,DM,EN分别是△ACD和△BCE的高,点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向挪动(不与点A,B重合),连结DE,
().

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【思路点拨】此四边形为直角梯形,AB的长度必定,那么直角梯形的高为AB的长度的一半,上下底的和也必定,因此面积不变.
【答案】C.
【分析】当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向挪动时,
依据等边三角形的性质,等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变,
即DM+EN=3MC+3CN=3AC+3CB=3AB,
222
并且MN的长度也不会改变,即MN=1AC+1CB=1AB.
222
∴四边形DMNE面积=3AB2,
8
∴.
【总结升华】考察等边三角形的性质和梯形的面积公式.
贯通融会:
【变式】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=,
AF=4,AB=6,则CE的长为().

【答案】D.
种类三、特别四边形与其余知识联合的综合运用
如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
1)求证:四边形EFGH是矩形;
2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.
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【思路点拨】(1)第一证明四边形EFGH是平行四边形,而后再证明HF=EG;
(2)依据题干求出矩形的边长CD和BC,而后依据矩形面积公式求得.
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【答案与分析】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
OA=0B=OC=OD,∵AE=BF=CG=DH,
AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-,DH
即:OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;
(2)解:∵G是OC的中点,
GO=GC,∵DG⊥AC,
∴∠DGO=∠DGC=90°,又∵DG=DG,
∴△DGC≌△DGO,
CD=OD,
F是BO中点,OF=2cm,
BO=4cm,
∵四边形ABCD是矩形,
DO=BO=4cm,
DC=4cm,DB=8cm,
CB=DB2-DC2=43,
∴矩形ABCD的面积=4×43=163cm2.
【总结升华】主要考察矩形的判断,第一要判断四边形是平行四边形,而后证明对角线相等.
5.(2012?重庆)已知:如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M
作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证:AM=DF+ME.
【思路点拨】(1)依据菱形的对边平行可得
AB∥CD,再依据两直线平行,内错角相等可得∠
1=∠ACD,
因此∠ACD=∠2,依据等角平等边的性质可得
CM=DM,再依据等腰三角形三线合一的性质可得
CE=DE,然
后求出CD的长度,即为菱形的边长
BC的长度;
(2)先利用“边角边”证明△
CEM和△CFM全等,依据全等三角形对应边相等可得
ME=MF,延伸AB交
DF于点G,而后证明∠1=∠G,依据等角平等边的性质可得
AM=GM,再利用“角角边”证明△
CDF和△BGF
全等,依据全等三角形对应边相等可得
GF=DF,最后联合图形GM=GF+MF即可得证.
【答案与分析】
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1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,
∴∠1=∠ACD,
∵∠1=∠2,
∴∠ACD=∠2,
MC=MD,∵ME⊥CD,
CD=2CE,∵CE=1,
CD=2,
BC=CD=2;
(2)证明:
如图,∵F为边BC的中点,
BF=CF=1BC,
2
CF=CE,
在菱形ABCD中,AC均分∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD,
在△CEM和△CFM中,
CECF
∵ACBACD,
CMCM
∴△CEM≌△CFM(SAS),
ME=MF,
延伸AB交DF于点G,
AB∥CD,
∴∠G=∠2,∵∠1=∠2,∴∠1=∠G,
∴AM=MG,
在△CDF和△BGF中,
G2
∵BFGCFD,
BFCF
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∴△CDF≌△BGF(AAS),
GF=DF,
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由图形可知,GM=GF+MF,
AM=DF+ME.
【总结升华】此题考察了菱形的性质,全等三角形的判断与性质,等角平等边的性质,作出协助线结构出全等三角形是解题的重点.
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6.

如图,己知

ABC的极点

B、C为定点,

A为动点

(不在直线

BC上).

是点

B对于直线

AC的对
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称点,

是点

C对于直线

AB



、、、

.
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(1)猜想线段

与'的数目关系,并证明你的结论;
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(2)当点

A运动到如何的地点时,四边形

为菱形?这样的地点有几个

?请用语言对这样的地点进
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行描绘;

(不用证明

)
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(3)当点

A在线段

BC

的垂直均分线

l(BC

的中点及到

BC

的距离为

的点除外

)上运动时,判断以
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点B、C、

、为极点的四边形的形状,画出相应的表示图.

(不用证明

)
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【思路点拨】此题考察轴对称的基天性质,综合考察菱形、正方形、
中,认识图形之间的内在联系.
【答案与分析】
1)猜想:BC′=CB′
B′是点B对于直线AC的对称点∴AC垂直均分BB′
∴BC=CB′
同理BC=BC′
BC′=CB′
2)要使BCB′C′是菱形,依据菱形的性质,对角线相互垂直均分
B′是点B对于直线AC的对称点,C′是点C对于直线AB的对称点∴AC垂直均分BB′,AB垂直均分CC′,
BB′、CC′应当同时过A点
∴∠BAC=90°
∴只需AB⊥AC即可知足要求,这样的地点有无数个.
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(3)如图,当A是BC的中点时,没有形成四边形;
当A到BC的距离为3BC时,
6
∵l是BC的垂直均分线,
∴∠ACB=∠ABC=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠BOC=60°,
∴BC=CB′=B′C′=BC′.
∴BCB′C′为菱形,
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当BC的中点及到

BC的距离为

3

BC的点除外时

,
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6
∵∠BOC=B′OC′,OB=OCOB′=OC′,
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∴∠OBC=∠OCB=∠OB′C′=∠OC′B′,
BC∥B′C′.
BC′不平行CB′,BC′=CB′,
四边形BCB′C′为等腰梯形.
【总结升华】此题能够很好的培育察看推理能力,依据要求画出图形能够更清楚的解题.
贯通融会:
【变式】(2012?襄阳)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点,BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相
交于点F.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)当AB与AC拥有什么地点关系时,四边形AECD是菱形?请说明原因,并求出此时菱形AECD的面
积.
【答案】(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠EDA,∠BEA=∠EAD,
又∵EA=ED,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠DEC=∠AEB,
又∵EB=EC,
∴△DEC≌△AEB,
AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
2)当AB⊥AC时,:∵AD∥BC,BE=EC=AD,
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形.
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AB=ED,
AB⊥AC,
AE=BE=EC,
∴⊥BE于点G,
∵AE=BE=AB=2,
∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°,
AG=3,
∴S菱形AECD=EC?AG=2×3=23.
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