三角形部分模型总结1.doc

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三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
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三角形部分模型总结
斜边中线模型
构成:Rt△ABC,∠ACB=90
0
C
,D为AB边的中点
A
目的:找等量关系,或
2倍(1/2)的关系。
D
B
结果:AD=CD=BD
例1
已知:△ABC中,∠A=600,CE⊥AB,BD⊥AC
A
E
D
123
B
MC

求证:DE=1BC
2
证明:取BC中点M,连结EM,DM
先证EM=DMEM=1BC=DM
2
再证:∠2=-∠1-∠3
三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
=-(-2∠ABC)-(-2∠ACB)=600
则△EDM为等边三角形,所以有
1
DE=DM=BC
2
“Rt△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰同等底”+“等量代换”例2已知:△ABC中,CE⊥AB,BD⊥AC,M,N分别为BC,DE的中点
求证:MN⊥ED
证明:连结EM,DM
A
EM=1BC=DM
先证EM=DM
N
2
E
N为中点,EM=DM
D后证MN⊥ED
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合必然
理”
B
[思M考]:若C△ABC为钝角△,又该怎样呢?在Rt△中,又是怎样?
3已知:在△ABC中,AB=AC,BD为∠ABC的角均分线,AM⊥BC,DE⊥BC,
FD⊥BD
求证:ME=1
BF
4
证明:取BD、BF中点G、N,连结DN,EG,GM
A
先证DN=1BF
D
2
G
3
再证:DN=DC∠DNC=∠C=∠ABC
①DN∥AB∠3=∠1
1
②AB=AC
2
C
BNMEF
再证GM=1DC
2
后证GM=ME∠MEG=∠MGE
①∠GEM=∠2
②∠GMB=∠C=2∠2
所以有ME=1DC=1BF
4
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰同等底”+“三角形中位线定理”
三角形部分模型总结1
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。
1
三角形部分模型总结1
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4如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC与D,M为BC边的中点,AB=10cm,则MD长为多少?
解:取AB中点N,连结DN,NM,则DN=1AB,∠NDB=∠B,且∠NMD=∠C
2
三角形部分模型总结1
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A

∠NDB=∠NMD+∠DNM
B=∠C+∠DNM=2∠C
三角形部分模型总结1
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N
1
BDMC
∠DNM=∠C=∠NDM则DM=DN=AB
2
“Rt△斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”+“外角性质”+“等底同等腰”
5如图,Rt△ABC中,∠C=900,CD均分∠C,E为AB中点,PE⊥AB,交CD延长线于P,
那么∠PAC+∠PBC的大小是多少?
P
解:连结CE,则∠EAC=∠ECA
A
0
D
∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-45
E
C
B
0
0
0
又∠DAC=180-∠ADC-
45
135
Q
-∠PDE
=
∠DCE=(1350-∠PDE)-
450=∠DPE则PE=EC=AE
则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=1800
“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”
“三线合一”模型
“角均分线”+垂线等腰三角形”
构成:OC为∠A0B的角均分线,BC⊥OC于C点
目的:构造等腰三角形
1
3
结果:
⑴[边]:BC=AC,OA=OBOC为△OAB的中线
4C
O2
B
⑵[角]:∠3=∠4,∠ACO=900
OC为△ABO的高线
[全等]:△ACO≌△BCO
1已知:AD是△ABC的∠A的均分线,CD⊥AD于D,BE⊥AD于AD的延长线于E,M是BC
边上的中点。
求证:ME=MD
证明:延长CD交AB于F点,BE与AC延长线交于G点
QD为FC中点,M为BC中点。
12
DM∥AB,∠1=∠
3
F
D
6
CQ
∠4+∠5=900,∠2+∠6=900
3
M
54
∠5=∠G=∠6
B
E
G
∠4=∠2
则
∠3=∠4
则
MD=ME
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。
2
三角形部分模型总结1
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“‘三线合一’定理的逆定理”+“平行线的性质”+“等底同等腰”
例2
已知:△ABC为等腰直角三角形,∠A=900,∠1=∠2,CE⊥BE
求证:BD=2CE
F
证明:延长CE、BA交于F点
先证CF=2CE
A
再证RT△ABD≌RT△CAF
“∠3=∠F”+”AB=AC”+”
三角形部分模型总结1
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∠
3D
E
1
4
2
C
B

BAD=∠CAF”
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则有BD=CF=2CE
“‘三线合一’定理的逆定理”+“ASA全等”
3已知:△ABC中,CE均分∠ACB,且AE⊥CE,
AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)
求证:DE∥BC
A
证明:延长AE交BC边于F点,则有∠3=∠6且∠
3=∠5
3
①∠3+∠4=1800
②∠4+∠5=1800
D
4
5E
1
∠5=∠6
则DE∥BC
B
2
C
F
“‘三线合一’定理的逆定理”+“平行线的判断”
三角形部分模型总结1
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例4已知:在△
A
3
B
5
1K
42
E
D
M

ABC中,AC>AB,AM为∠A的均分线,AD⊥BC于D
1
∠C)
求证:∠MAD=(∠B-
2
证明:作BE⊥AM,交AC于E点,交AM于K点
先证∠3=∠4
∠1=∠2
∠5=∠AEB
①AM为角均分线②BE⊥AM
后证:∠B-∠C=∠4+∠5-∠C=∠4+∠AEB-∠C=2∠4
则∠3=∠4=
1
1
(∠B-∠C)即∠MAD=(∠B-∠C)
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C
2
2
“三线合一逆定理”+“平行四边形的判断”
例5
已知:在△ABC的两边AB、AC上分别取BD=CE,F、G分别为DE、BC的中点,∠A
的均分线AT交BC于T
求证:FG∥AT
证明:作EN⊥AT于N点,交AB于L点,作CK⊥AT于K点,连结FN、GK
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A
LN
E
DF
M
K
BGTC

先证:NF∥且=1LD,KG∥且=1MB
22
再证:LD=MBLM=DB=EC
最后证明四边形FNKG为平行四边形。“‘三线合一’定理的逆定理”+“平行四边形判断”
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。
3
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三角形中位线模型
构成:△ABC中,D为AB边中点
A
目的:找中位线,构造:①
2倍关系②相似三角形
D
E
结果:①DE∥BC,DE=1BC②△ADE∽△ABC
2
B
C
1已知:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,F为DE中点
求证:AF⊥BE
证明:取
BE中点H,连DH
A
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先证:Rt△EDH∽Rt△AED则

DEEC2HD
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AEDE2EF
Rt△EDH∽Rt△AEF则∠BED=∠1

G
H

E
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∠EAF+∠AEG=
0
F
90
则AF⊥BE
B
D
C
“AAA△∽”+“中位线定理”+“(两直线)定义”
2已知BD、CE为△ABC的角均分线,AF⊥CE于F,AG⊥CE于F,AG⊥BD于G
求证:①FG∥BC②FG=1(AB+AC-BC)
2
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证明:延长AF、AG分别交BC于M、N两点
证G为AN中点①BD⊥AN②∠1=∠2
F为AM中点①∠3=∠4②CE⊥AM
①则GF为△ANM中位线GF∥BC,GF=1MN
2
A
EFGD
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②MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC
1
43
2
“等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”
BM
NC
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思虑:BD、CE为外角均分线时或一内一外角均分线时,又该怎样证明?
3已知,如图在YABCD中,P为CD中点,AP延长线交BC延长线于
DE于Q
A
求证:PQ=1BC
2
证明:先证△ADP≌△PCE可得CE=AD=BC
B
再证PQ为中位线
,PQ=1CE
2

E,PQ∥CE
D
Q
CE
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“AAS△≌”+“平行四边形性质”+“△中位线定理”
4已知:梯形ABCD中,AB=DC,AC⊥BD,E、F为腰上中点,DL⊥BC,M为DL与EF的交点
求证:EF=DL
A
H
D
证明:取AD、EF的中点H、K,连结EH、FH、HK
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易证EH⊥HF则HK=1EF
2

EF
KM
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BLC
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。
4
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RT△DLC中可得M为DL中点,则
1
DM=DL
2
由题意得HK=DM
则EF=DL
“三角形中位线定理(
3次)”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”
例5已知:锐角△ABC中,以AB、AC为斜边向外作等腰直角△
ADB,△AEC,M为
BC中点,连结DM、ME
求证:DM=EM,DM⊥EM
证明:取AB、AC的中点F、G,连结DF、FM、ME
A
先证△DFM≌△MGE
①DF=GM
D
2
E
4F
G
1
②∠DFM=∠MGE∠1=∠2=∠3
75
3
6
③FM=GE
B
MC
DM=ME,∠4=∠5
再证∠DME=∠7+∠1+∠5=900,则DM⊥EM
[思虑]:∠BAC为钝角时,又该怎样证明?
“补长截短”模型
(1)截长法:构成:线段a,b,c
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a
c
bc

目的:确定一线段,找令一线段的等量关系
结果:a-b=ca=b+c,b=b
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(2)补短法:
构成:线段a,b,c
目的:构造一等长线段,再找等量关系
a
c
a=b+c
A
b
c
结果:c=c,b+c=a
12
E
3
例1已知:△ABC中,AD均分∠BAC
4
求:(1)若∠B=2∠C,则AB+BD=AC
C
DB
(2)若AB+BD=AC,则∠B=2∠C
解:(1)在AC上取AE=AB,连结DE,则△AED≌△ABD
BD=ED∠3=∠B,AB=AE且∠3=2∠C=∠4+∠C
则EC=ED
AC=AE+EC=AB+BD
(2)(1)的反推过程
“SAS△全等”+“△的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底等腰”
例2已知:等腰△ABC中,AB=AC,∠A=1080,BD均分∠ABCA
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求证:BC=AB+DC
证明:在BC边上取BE=BA,连结DE,
。
5

1080
D
12
3
54
C
B
E
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则△ABD≌△EBDAB=BE
再证:∠3=∠4∠4=720,∠3=∠5-∠C=720
DC=EC则BC=BE+EC=AB+DC
“SAS△全等”+“△两外角等于不相邻两内角和”+“等底同等腰”
3已知:在△ABC的边BC上取BE=CF,过E作EH∥AB交AC于H,过F作FG∥AB交AC
于G
求证:EH+FG=AB
A
证明:在AB上取BD=FG,连结DE
H
先证△DBE≌△GFC再推∠3=∠C
D
再证四边形ADEH为平行四边形则FG+EH=AD+DB=AB
G
3
“SAS△全等”+“平行线的判断”
+
2
BE
1
“平行四边形的判断”
FC
[思虑]:①若在AC上截取AD=EH,连DF,怎样证明?
②若用以下方法增加辅助线,又该怎样证明?
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=GF,连DF
,使ED=GF,,使ED=AC,连CD
例4
已知:在正方形ABCD中,M是CD的中点,
且∠BAE=2∠DAM
求证:AE=BC+CE
证明:取BC的中点G,连结AG
延长AB至F使AF=AE,连结FG,GE
先证∠3=∠5则∠3=∠4=∠5
后证RT△AFG≌RT△AEG
则FG=GE
再证RT△FBG≌RT△ECG
则BF=EC

E是CD上一点,
A
5
D
3
4
M
E
1G2C
F
三角形部分模型总结1
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所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE
“SAS△全等”+“‘三线合一’定理”+“等量代换”[思虑]:若用以下方法增加辅助线,该怎样证明?
在AE上截取AF=AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE
延长DC至H,使CH=AB,连AH交BC于G
5已知:在正方形ABCD中,E为BC上任一点,∠EAD的均分线交DC于F
求证:BE+DF=AE
三角形部分模型总结1
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G
D
F
C
5
4
1
2
E
A
3
B

证明:延长CD至G,使DG=BE,连结AG,则RT△ABE≌RT△ADG,得∠
3=∠4再证∠5=∠1+∠4AG=FG
所以有AE=AG=AF=DF+DG=DF+BE
“平行线性质2”+“等底同等腰”+“HLRT△全等”
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。
6
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“等腰
等边”模型
A
角均分线+平行线
等腰△
O1
构成:∠AOB,OD为∠AOB的角均分线
2
D
目的:构造等腰△,找等角,等边
3
E
C
B
①△OEC为等腰△OC=OE
结果:
②∠3=∠C,∠1=∠3
1已知:△ABC中,AB=4,AC=7,M是BC中点,AD均分∠BAC,过M点作MF∥AD,
AC于F
求:FC的长度?
F
解:延长FM至N,使MF=MN,延长MF、BA交于E点
A
先证:△BMN≌△CMFBN=CF,∠N=∠MFC
再证:∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N
AE=AF,BN=BE
B
DM
C
则有:AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC
E
所以有:FC=1(AB+AC)=
N
2
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“SAS△全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底同等腰”
例2
已知:锐角△ABC中,∠ABC=2∠C,∠ABC的均分线与AD垂直,垂足为
求证:AC=2BD
证明:过A作BC平行线,延长
BE交平行线于F
A
先证:△ABF为等腰△
BF=2BD
再证:AE+EC=EF+BE
①AE=EF
∠3=∠4
②BE=EC
∠2=∠C
1
2

D
43F
E
D
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BC
AC=BF=2BD
“等底等腰”+“等腰△三线合一”+“平行线性质2”
3已知:在△ABC中,∠A=1000,AB=AC,BE是∠B的均分线
求证:AE+BE=BC
证明:过E作ED∥BC交AB于D,延长CA至A使EF=BC连结FD先证:DE=DB=EC
再证:△DEF≌△ECBFD=BE
F
三角形部分模型总结1
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后证:FD=FA∠4=∠5=90
0
所以有:AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC
“平行线性质”+“等底
等腰”+“SAS
△全等”
4已知:△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角均分线,P为AD的平行线交BA的延长线于E,交AC于F
求证:2AD=PE+PF
证明:延长AD,FP,过C作AB平行线,交于G、H点
。
7

D4
5A
1
E
2
3
C
B
BC上一点,过P作
E
A
12
F
B
4
C
D
P5
H
3
G
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先证:AD=DG,PH=FP∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
后证:AG=EH四边形AEHG为平行四边形
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三角形部分模型总结1
则有:2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP
“等底等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判断及性质”
倍长中线模型
构成(条件):△ABC中,AD为中线
目的:(1)构造全等三角形
→找等量关系(边)
(2)构造平行线→
找等角关系
结果:(1)△BDE∽△ADC→
B
①BE=AC
(2)AE=2AD
②∠1=∠2,∠3=∠4→AC∥BE
例1:已知:AD为△ABC中线,E为AC上一点,且AE=FE
求证:AC=BF
证明:(倍长中线)△BDG≌△CDA∠G=∠EAF,BG=AC
再∠G=∠3BF=BGB
“SAS△全等”+“等底等腰”+“等量代换”

A
3
2
1DC
4
E
A
3
E
F2
DC
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G
例2:已知:CE、CB分别是△ABC、△ACD的中线,且AB=AC,求证:CD=2CE
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A
E
BC
D

证明:倍长CE,连结BM
MEB≌△CEA(SAS)ME=EC+∠MEB=∠AEC+BE=AE
MBC≌△DBC(SAS)MB=BD+∠MBC=∠DBC+BC=BC
∴DC=MC=2EC
“等腰同等底”+“外角=两内角和”+“SAS△全等”
三角形部分模型总结1
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例3:已知Rt△BAC中,∠A=900,D为BC边中点,E、F分别为边AB、AC上一动点,且
ED⊥FD。求证:EF=BE+CF。
证明:倍长FD至G,连结BG、EG
A
先证△CFD≌△BGD
CF=BG,∠C=∠GBD(AC∥BG)
E
F
2
2
222
B
Rt△EBG中,EG=BG+BE=FC+BE
D
C
,则EF2=BE2+CF2
G
△EGF为等腰△
“SAS△全等”+“勾股定理”+“等腰△三线合一”
4:已知:△ABC中,AD为中线,AB边长为x,AC边长为y,求中线AD
三角形部分模型总结1
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A
BDC
E

的取值范围。
解:倍长AD连结BE
ABE中,|x-y|<2AD<x+y
xy
xy
2
AD
2
三角形部分模型总结1
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“SAS△全等”+“等量代换”+“△三边关系”
例5:已知M是△ABC的边BC上的中点,过BC上一点D引直线平行于AM交AB于E,
交CA的延长线于F求证:ED+DF=2AM
F
E
A
。
B
D
8
M
C
K
H
三角形部分模型总结1
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证明:倍长AM,连结BH延长ED交BH于K
先证四边形FAHK为平行四边形AH=FK
再证ED=DKED/AM=DK/HM,AM=MH
ED+FD=FK=AH=2AM
“SAS全等△”+“平行四边形定义及性质”+“比任性质”+“等量代换”
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[练****已知:△ABC中,AD是角均分线,M是
于E、F。求证:BE=CF
证明:倍长FM连结BG
先证△BMG≌△CMFBG=CF,∠G=∠F
∴FC∥BG
4
1
再证∠1=∠F=∠G
2
F
1
2
∴BE=BG=CF

BC中点,MF∥DA,MF交AB、CA的延长线
F
A
E12
4
B
M3
C
5
D
G
三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
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“SAS全等”+“两直线平行,同位角相等”+“等底同等腰”+“等量代换”
面积法
(1)构成:AD∥BC,△ABC,△BCD。
AD
目的:找等积△.
三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
三角形部分模型总结1
BC
A
EF
BC
A
B
l1
E
F
l
2
O
l3
CD

结果:S△ABC=S△BCD.
2)构成:EF∥BC,△ABC,△AEF。
目的:找比率线段。
222222
结果:S△AEF:S△ABC=AF:AC=AE:AB=EF:BC
3)构成:l1∥l2∥l3,线段AC、BD,AD、BC订交于点O。目的:找比率线段。
结果:AE:EC=AO:OD=BO:CO=BF:FD
三角形部分模型总结1
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三角形部分模型总结1
例1:在△ABC的边AB、AC上分别取点D、E,使DE∥BC,在AB上取点F,
2
使S△ADE=S△BFC。求证:AD=AB*BF。
2
2
”+“S△ADE:S△ABC=
证明:“S△ADE:S△ABC=AD:AB
S△BFC:S△ABC=FB:AB”
2
2
A
AD:AB=FB:AB
AD2=FB*AB
D
F
“相似△面积比”+“同高△面积比”
+“比率的基本性质”
E
B
C
0
例2:已知:△ABC中,∠ACB=90,CE均分∠ACB交AB于E,EF⊥AC于F。
求证:1
1
1
。
AC
BC
EF
三角形部分模型总结1
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A
E
F
BDC
证明:过E作ED⊥BC于D
S△ABC=S△BEC+S△AECBC*AC=BC*ED+AC*EF
BC*AC=(BC+AC)*EF
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。
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所以有
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三角形部分模型总结1
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ACBCEF
“角均分线的性质”+“△面积公式”+“比任性质(逆用)”+“等面积代换”
3:已知:△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,BG⊥AC于
G。求证:BG=ED+DF
A
证明
:连结AD。
G
S
△ABC=S△ABD+S△ACD
E
F
1AC*BG=1AB*ED+1
AC*DF,则BG=ED+DF
BD
C
2
2
2
“△面积公式”+“等面积代换”
小结:等腰△腰上的高为底边任一点到两腰距离之和。
例4:已知P是△ABC中∠A的均分线上任意一点,过
C引CE∥PB,交AB的延长线于E,
过B引BF∥PC,交AC的延长线于F。求证:BE=CF。
A
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证明:连结PE、PF。
先证S△PBE=S△BPC=S△PCF
再证P到BE边与CF边的距离相等。
所以有BE=CF
“同底等高△面积相等”+“角均分线性质”+“面积公式”

P
BC
D
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EF
5:已知:△ABC中,DE∥BC交CB延长线于F,AG∥DC交BC延长线于G。
求证:BF=CG
A
证明:连结EF、DG。
先证S△FBE=S△GCD“S△AEB=S△FBE”+
D
E
“S△ADC=S△GCD”+“S△AEBC=S△ADC”
FBM
NC
G
则有1FB*EN=1CG*DM,即BF=CG。
2
2
“等高同底
△面积相等”+“△面积公式”+“两平行线距离”
6、已知:△ABC中,AD是中线,F是AD上的点,且DF=2AF,BF的延长线与AC交于E,
BF:FE。
三角形部分模型总结1
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A
E
F

证明:作FP∥AC交BC于P。先证CD
3
,则有
CP
1,PC
1
即
CP
1
BC
6PB
5
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BDPC
BFBP5
。
EFPC1
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[思虑]:将“DF=2AF”改为“AF=2DF”,其他条件不变,求BF:FE。(BF:FE=2)
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。
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