最新山东高考人教A版数学理科二轮复习7.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离(含答案解析).docx

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(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
课时提升作业(四十九)
一、选择题
1.(2013·郑州模拟)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,
则异面直线AD,BC所成的角为()
(A)120

°

(B)30

°

(C)90

°

(D)60°
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
2.(2013

·银川模拟

)在三棱柱

ABC-A1B1C1中,底面为边长为

1的正三角形,侧棱

AA1⊥底面
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
ABC,点

D在棱

BB1上,且

BD=1,若

AD与平面

AA1C1C所成的角为α,则

sin

α的值为()
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(A)
3
(B)
2
10
6
2
2
(C)
(D)
4
4
3.(2013
·合肥模拟)在正方体ABCD-ABCD中,二面角
A-BD-C
的余弦值为(
)
1
1
1
1
1
1
(A)
3
(B)
2
(C)1
(D)
1
3
2
2
3
已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,=2,AC
=BD=1,则D到平面ABC的距离等于()
2
(B)
3
6
(D)1
(A)
(C)
3
3
3
5.(2013·三亚模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形
ACB所在的平面互相垂
直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成
的角的余弦值为()
3
3
3
3
(A)
(B)-
(C)
(D)-
6
6
3
3
如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且
AF=1
AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为(
)
2
6
3
6
2
(A)
(B)
(C)
(D)
6
3
3
3
二、填空题
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N
与平面BDM所成角的正弦值为_______.
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的
距离为________.
二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于
=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为___________.
正四棱锥S-ABCD中,O为极点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角等于_______.
三、解答题
11.(2013·安阳模拟)如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD
所在平面订交于AD,EA=ED,AE⊥平面CDE.
(1)求证:AB⊥平面ADE.
6
(2)设M是线段BE上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为
3
时,试确定点M的地址.
12.(2013·青岛模拟)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E
分别是AC,CC1的中点.
求证:AE⊥平面A1BD.
求二面角D-BA1-A的余弦值.
求点B1到平面A1BD的距离.
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
13.(能力挑战题)已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=,
使AC=a,获取三棱锥A-BCD,以下列图.
(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
答案剖析
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
1.【剖析】,则
A(2,0,0),B(0,
2,0),
C(0,0,
2),D(0,-
2,0),
∴AD=(-
2,-
2,0),
BC=(0,-
2,
2),
∴|AD|=2,|
BC|=2,
AD·BC=2,
∴
AD
BC
2
1
〈
,〉
.
cos
ADBC
AD
BC
22
2
∴异面直线AD,BC所成的角为60°.
2.【剖析】,建立坐标系,易求点D(3
1
1
1
2
,
,1),平面AACC
2
的一个法向量是n=(1,0,0),
所以
3
6
cos〈n,AD〉=
2
,
24
即sinα=6.
4
【剖析】,建立以下列图的空间直角坐标系
Dxyz,易知A1E⊥BD,C1E⊥BD,
则∠A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,
EA1=(
1,-1,1),
2
2
EC=(-
1,
1,1),cos〈EA,EC〉=
1.
1
2
2
1
1
3
【方法技巧】求二面角的策略
:①建系;②分别求构成二面角的两个半平面的
法向量;③求法向量夹角的余弦值;④依照题意确定二面角的余弦值或其大小.
,找出二面角的平面角,尔后用向量法或解三角形法求其余弦值.
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
4.【剖析】选C.∵ABACCDDB,
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
2
2
2
2
∴AB
ACCD
DB,
|CD|2=2.
在Rt△BDC中,BC=3.
∵平面ABC⊥平面BCD,过D作DH⊥BC于H,
则DH⊥平面ABC,
∴DH的长即为D到平面ABC的距离,
∴DH=DBDC=1
2
6
,应选C.
BC
3
3
5.【剖析】,正方形ACDE与等腰直角三角形
ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,
ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点.
以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,
A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),
AD=(0,-2
,2),GF=(-1
,2,1),
∴|AD|=2
2,|GF|=
6,AD·GF=-2,
ADGF
3
∴cos〈AD,GF〉
.
ADGF
6
∴直线AD与GF所成角的余弦值为
3
.
6
【误区警示】本题简单忽视异面直线所成角的范围而误选B.
【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1
上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()
(A)
(B)
(C)
3
(D)
6
4
2
【剖析】,经过向量的坐标运算可知
AM⊥OP恒建立,即AM与OP所成的角
为
.
2
【剖析】,以A为原点建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2a,0),
C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
AG=(a,a,0),AC=(0,2a,2a),
BG=(a,-a,0),BC=(0,0,2a).
设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),
AG
n1
0,
ax1
ay1
0,
x1
1,
由
2ay1
2a
0
y1
1
AC
n1
0
n1=(1,-1,1).
设θ为GB与平面AGC所成的角,
则sinθ=
BGn1
2a
6.
BGn1
2a
3
3
7.【剖析】以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立
空间直角坐标系,则
B1(2,2,2)
,N(0,2,1),NB1=(2,0,1),又M(0,1,2),
D(0,0,0)
,B(2,2,0)
,则DB=(2,2,0),DM=(0,1,2),可得平面BDM的一个法向量n
=(2,-2,1),因为cos〈n,NB
n·NB1
5
,故直线BN与平面BDM所成角的正
1〉=
3
1
nNB1
弦值是
5.
3
答案:
5
3
8.【剖析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为
x轴,y轴,z轴
建立空间直角坐标系以下列图,则
A(1,0,0),B(1,1,0)
,D(0,0,1),
1
C(0,1,1)
1
1
,
,O(,
,1)
1
2
2
AB=(0,1,0),AD1
=(-1
,0,1),
设平面ABCD的法向量n=(x,y,z)
,
1
1
nABy0,
由
nAD1xz0,
y0,
得
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
xz.
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
令x=1,得n=(1,0,1).
又OD1=(-
1,-
1,0),
2
2
1
∴O到平面ABC1D1的距离d=|nOD1|=2
2
.
n
2
4
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
答案:

2
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
4
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
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9.【剖析】由条件

,知CA

·AB

=0,AB

·BD

=0,CD=CA

AB

BD,
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
2222∴|CD|=|CA||AB||BD|

2CAAB

2AB

BD

2CABD
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
62+42+82+2×6×8cos〈CA,BD〉=(217)2,
∴cos〈CA,BD
1
,〈CA,BD〉=120°,
〉=
2
∴二面角的大小为
60°.
答案:60°
【剖析】如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0)
,B(0,a,0),C(-a,0,0)
,
P(0,
a,a),
2
2
则
CA
=
(2a,0,0)
,AP=
-,
-
a
a
,
(
a
,)
2
2
CB=(a,a,0).
设平面
PAC的法向量为n,可取n=(0,1,1)
,
则
〈
,
〉=
CBn
=
a
=
1
,
cos
CBn
CB|n|
2a2
2
2
∴〈CB,n〉=60°,
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.
答案:30°
11.【剖析】(1)∵AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,
AE⊥CD.
在正方形ABCD中,CD⊥AD,
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE.
AB∥CD,∴AB⊥平面ADE.
(2)由(1)得平面EAD⊥平面ABCD,取AD中点O,连接EO.
EA=ED,∴EO⊥AD,
EO⊥平面ABCD.
建立以下列图的空间直角坐标系,
设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z).
∴BM=(x-1,y-2,z),BE=(-1,-2,1),
B,M,E三点共线,设BM=λBE,
M(1-λ,2-2λ,λ),
AM=(-λ,2-2λ,λ).
设AM与平面EAD所成角为θ,∵平面EAD的一法向量为n=(0,1,0),
∴sinθ=cos〈AM,n〉
2
2
6,
8
4
6
2
3
解得λ=1,即点M为BE的中点.
2
【变式备选】(2013·石家庄模拟)如图,已知正四棱锥
P-ABCD的所有棱长都是
2,底面正
方形两条对角线订交于
O点,M是侧棱PC的中点.
求此正四棱锥的体积.
求直线BM与侧面PAB所成角θ的正弦值.
【剖析】(1)由题可得,PO⊥底面ABCD.
在Rt△AOP中,
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
AO=1AC=2,AP=2,
2
∴PO=
AP2
AO2=42=2.
故VP-ABCD=1·S底·PO=1×4×2
42
.
3
3
3
(2)由(1)
知PO⊥底面ABCD,且OA⊥OB,以O点为原点,OA,OB,OP
所在的直线分别为x,y,z轴建立以下列图的空间直角坐标系,则各点
的坐标为A(
2
,0,0),B(0,
2
,0),P(0,0,
2),
M(
2,0,2
),
2
2
2
,2,
2
2,2,0),
∴MB=(
),AB=(
2
2
AP=(
2,0,2).
设平面ABP的一个法向量为
n=(x,y,z)
,
n
AB
,
2x
2y
0,
则有
0
即
n
AP
0,
2x
2z
0.
取x=1,则y=1,z=1,
∴n=(1,1,1),
∴sin
θ=cos(90
)
nMB
=
2
2.
||
MB
33
3
n
【思路点拨】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.
【剖析】(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z
轴建立空间直角坐标系如图,
则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),
A1(1,-2
,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,
3),
B(0,-2
,3),
1
AE=(-2,-1,0),A1D=(-1,2,0),BD=(0,0,-3).
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
AE·A1D=2-2+0=0,
AE⊥A1D,AE·BD=0,∴AE⊥BD.
又A1D与BD订交于D,∴AE⊥平面A1BD.
(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
n1A1D0,
x12y10,
由
取n1=(2,1,0).
n1BD
0
3z1
0.
设平面AA1B的一个法向量为
n2=(x2,y2,z2),
易得A1B=(-1,2,
3
),A1A=(0
,2,0),
n2A1B=0,
x2
2y2
3z2
0,
则由
A1A
0
2y2
0,
n2
取n2=(3,0,
3).cos
〈n1,
n2〉=
6
12
15.
5
5
故二面角D-BA-A的余弦值为
15
.
1
5
(3)B1B=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),
则B1到平面A1BD的距离为
d=|B1Bn1|
25.
n1
5
13.【剖析】(1)
依照题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=
2,
2
2
2
所以AC=AO+CO,所以AO⊥⊥BD,BD∩CO=O,
所以AO⊥平面BCD.
方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分
别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz,
则有O(0,0,0),D(0,
2,0),
C(2,0,0),B(0,-
2,0).
设A(x0,0,z0)(x0<0),则OA=(x0,0,z0),
OD=(0,2,0).
平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)
(二)——求空间角和距离(含答案分析)