流体静力学基本方程式.pdf

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流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中,流体的平衡规律
应用很广,如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液
封等均以这一规律为依据。
1-1-1流体的密度
一、密度
单位体积流体所具有的质量,称为流体的密度,其表达式为:
m
(1-1)
V
式中ρ——流体的密度,kg/m3;
m——流体的质量,kg;
V——流体的体积,m3。
不同的流体密度不同。对于一定的流体,密度是压力P和温度T的函数。液体的密度
随压力和温度变化很小,在研究流体的流动时,若压力和温度变化不大,可以认为液体的密
度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。
流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得,本教材附录中也列出某些常见气
体和液体的密度值,可供查用。
二、气体的密度
气体是可压缩的流体,其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态,
从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值,这就涉及到如何将查得的密度换算
为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下,也可以将气体当作不可压缩流
体来处理。
对于一定质量的理想气体,其体积、压强和温度之间的变化关系为
pVp'V'

TT'
将密度的定义式代入并整理得
T'p
'(1-2)
Tp'
式中p——气体的密度压强,Pa;
V——气体的体积,m3;
T——气体的绝对温度,K;
上标“'”表示手册中指定的条件。
一般当压强不太高,温度不太低时,可近似按下式来计算密度。
pM
(1-3a)
RT
MTpTp
或00(1-3b)

00
式中p——气体的绝对压强,kPa或kN/m2;
M——气体的摩尔质量,kg/kmol;
T——气体的绝对温度,K;
R——气体常数,/(kmol·K)
下标“”表示标准状态(,)。
0T0=273Kp0=
三、混合物的密度
化工生产中所遇到的流体往往是含有几个组分的混合物。通常手册中所列的为纯物质的
密度,所以混合物的平均密度ρ需通过计算求得。
m
。若混合前后各组分体积不变,则
混合液的体积等于各组分单独存在时的体积之和。混合液体的平均密度ρ为:
1kgm
1xxx(1-4)
wAwBwn

mABn
式中ρ、ρ…ρ——液体混合物中各纯组分的密度,3;
ABnkg/m
、…——液体混合物中各组分的质量分率。
xwAxwBxwn
。若混合前后各组分的质量不变,
则1m3混合气体的质量等于各组分质量之和,即:
ρρρ……ρ()
m=AxVA+BxVB++nxVn1-5
式中、…——气体混合物中各组分的体积分率。
xVAxVBxVn
气体混合物的平均密度ρ也可按式计算,此时应以气体混合物的平均摩尔质量
m1-3a
代替式中的气体摩尔质量。气体混合物的平均分子量可按下式求算:
MmMMm
…()
Mm=MAyA+MByB++Mnyn1-6
式中、…——为气体混合物中各组分的摩尔质量;
MAMBMn
、…——气体混合物中各组分的摩尔分率。
yAyByn
【例1-1】已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m3与998kg/m3,试求含硫酸为60%(质
量)的硫酸水溶液的密度为若干。
解:根据式1-4


1830998
m
=(+)10-4=×10-4
ρ3
m=1372kg/m
【例】已知干空气的组成为:、和(均为体积),试求干空
1-2O221%N278%Ar1%%
×104Pa及温度为100℃时的密度。
解:首先将摄氏度换算成开尔文
100℃=273+100=373K
再求干空气的平均摩尔质量
×××
Mm=++
=
根据式1-3a气体的平均密度为:
10

373
1-1-2流体的静压强
一、静压强
流体垂直作用于单位面积上的力,称为压强,或称为静压强。其表达式为
Fv
p(1-7)
A
式中p——流体的静压强,Pa;
Fv——垂直作用于流体表面上的力,N;
A——作用面的面积,m2。
二、静压强的单位
在法定单位中,压强的单位是Pa,称为帕斯卡。但****惯上还采用其它单位,如atm(标
准大气压)、某流体柱高度、bar(巴)或kgf/cm2等,它们之间的换算关系为:
2×5
1atm==760mmHg===
三、静压强的表示方法
压强的大小常以两种不同的基准来表示:一是绝对真空;另一是大气压强。以绝对真空
为基准测得的压强称为绝对压强,以大气压强
为基准测得的压强称为表压或真空度。表压是
因为压强表直接测得的读数按其测量原理往往
就是绝对压强与大气压强之差,即
表压=绝对压强—大气压强
真空度是真空表直接测量的读数,其数值
表示绝对压强比大气压低多少,即
真空度=大气压强—绝对压强
绝对压强、表压强与真空度之间的关系可用图
1-1表示。图1-1绝对压强、表压强和真空度的关系
1-1-3流体静力学基本方程式
流体静力学基本方程是用于描述静止流体内部,流体在重力和压力作用下的平衡规律。
重力可看成不变的,起变化的是压力,所以实际上是
描述静止流体内部压力(压强)变化的规律。这一规
律的数学表达式称为流体静力学基本方程,可通过下
述方法推导而得。
在密度为ρ的静止流体中,任意划出一微元立方
体,其边长分别为dx、dy、dz,它们分别与x、y、z
轴平行,如图1-2所示。
由于流体处于静止状态,因此所有作用于该立方
体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。
对于z轴,作用于该立方体上的力有:图1-2微元流体的静力平衡
(1)作用于下底面的压力为pdxdy。
p
(2)作用于上底面的压力为pdzdxdy。
z
(3)作用于整个立方体的重力为-ρgdxdydz。
z轴方向力的平衡式可写成:
p
pdxdypdzdxdy-ρgdxdydz=0
z
p
即dxdydzpgdxdydz0
z
上式各项除以dxdydz,则z轴方向力的平衡式可简化为
p
pg0(1-8a)
z
对于x、y轴,作用于该立方体的力仅有压力,亦可写出其相应的力的平衡式,简化后
得
p
x轴0(1-8b)
x
p
y轴0(1-8c)
y
式1-8a、式1-8b、式1-8c称为流体平衡微分方程式,积分该微分方程组,可得到流体
静力学基本方程式。
将式1-8a、1-8b、1-8c分别乘以dz、dx、dy,并相加后得
ppp
dxdydzgdz(1-8d)
xyz
上式等号的左侧即为压强的全微分dp,于是
dp+ρgdz=0(1-8e)
对于不可压缩流体,ρ=常数,积分上式,得
p
gz=常数(1-8f)

液体可视为不可压缩的流体,在静止液体中取任意
两点,如图1-3所示,则有
pp
1gz2gz(1-9a)
12
或ρ-
p2=p1+g(z1z2)(1-9b)图1-3静止液体内的压强分布
为讨论方便,对式1-9b进行适当的变换,即使点1处于容器的液面上,设液面上方的
压强为,距液面处的点压强为,式可改写为
p0h2p1-9b
ρ()
p=p0+gh1-9c
式1-9a、式1-9b及式1-9c称为流体静力学基本方程式,说明在重力场作用下,静止液
体内部压强的变化规律。由式1-9c可见:
()当容器液面上方的压强一定时,静止液体内部任一点压强的大小与液体本身
1p0p
的密度ρ和该点距液面的深度h有关。因此,在静止的、连续的同一液体内,处于同一水平
面上各点的压强都相等;
()当液面上方的压强有改变时,液体内部各点的压强也发生同样大小的改变;
2p0p
pp
(3)式1-9c可改写为0h;
g
上式说明,压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示。用液体高度来表示压强或压强
差时,式中密度ρ影响其结果,因此必须注明是何种液体。
(4)由式1-8f,式中gZ项可以看作为mgz/m,其中m为质量。这样,gz项实质上是
单位质量液体所具有的位能。p/ρ相应的就是单位质量液体所具有的静压能。位能和静压能
都是势能,式1-8f表明,静止流体存在着两种形式的势能——位能和静压能,在同一种静
止流体中处于不同位置的流体的位能和静压能各不相同,但其总势能则保持不变。若以符号
ρ表示单位质量流体的总势能,则式可改写为:
Ep/1-8f
Ep
pgz常数

即ρ
Ep=p+gz
单位与压强单位相同,可理解为一种虚拟的压强,其大小与密度ρ有关。
Ep
虽然静力学基本方程是用液体进行推导的,液体的密度可视为常数,而气体密度则随压
力而改变。但考虑到气体密度随容器高低变化甚,微一般也可视为常数,故静力学基本方程
亦适用于气体。
【例1-3】本题附图所示的开口容器内盛有油和
水。油层高度、密度ρ3,水层高度
h1==800kg/m
、密度ρ3。
h2==1000kg/m
(1)判断下列两关系是否成立,即
pA=p'ApB=p'B
(2)计算水在玻璃管内的高度h。
解:()判断题给两关系式是否成立的关
1pA=p'A
系成立。因与两点在静止的连通着的同一流体内,
AA'
并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。例1-3附图
的关系不能成立。因及两点虽在静止流
pB=p'BBB'
体的同一水平面上,但不是连通着的同一种流体,即截面B-B'不是等压面。
()计算玻璃管内水的高度由上面讨论知,,而都可以用流体静力
2hpA=p'ApA=p'A
学基本方程式计算,即
ρρ
pA=pa+1gh1+2gh2
ρ
pA'=pa+2gh
于是ρρρ
pa+1gh1+2gh2=pa+2gh
简化上式并将已知值代入,得
800×+1000×=1000h
解得h=
1-1-4流体静力学基本方程式的应用
一、压强与压强差的测量
测量压强的仪表很多,现仅介绍以流体静力学
基本方程式为依据的测压仪器。这种测压仪器统称
为液柱压差计,可用来测量流体的压强或压强差。

U型压差计结构如图1-4所示,内装有液体作
为指示液。指示液必须与被测液体不互溶,不起化
学反应,且其密度ρ大于被测流体的密度ρ。
A
当测量管道中A、B两截面处流体的压强差时,
可将U型管压差计的两端分别与A及B两截面测
压口相连。由于两截面的压强p和p不相等,所
12
以在U形管的两侧便出现指示液液面的高度差R。图1-4U形压差计
因U形管内的指示液处于静止状态,故位于同一
水平面、两点压强相等,即据流体静力学基本方程可得:
12p1=p2
ρ
p1=pA+gh1
ρρ-ρ
p2=B+g(h2R)+AgR
于是(ρ)-(ρ)(ρ-ρ)
pA+gzApB+gzB=RgA
或-(ρ-ρ)()
E1E2=RgA1-10
式1-10表明,当压差计两端流体相同时,U形管压差计直接测得的读数R实际上并不
是真的压差,正而是,两截面的虚拟压强之差Δ。
12Ep
只有两测压口处于等高面上,(即被测
zA=zB
管道水平放置)时,U形压差计才能直接测得两
点的压差。
-(ρ-ρ)
pApB=AgR
同样的压差,用U形压差计测量的读数R与
密度差(ρ-ρ)有关,故应合理选择指示液的
A
密度ρ,使读数在适宜的范围内。
AR
-5倾斜液柱压差计
当被测量的流体的压差不大时,U形压差计
的读数R必然很小,为了得到精确的读数,可采用如图1-5所示的斜管压差计。此压差计的
读数R'与R的关系为:
R'=R/sinα(1-11)
式中α为倾斜角,其值越小,将R值放大为R'的倍
数愈大。

若所测得的压强差很小,为了把读数R放大,除了
在选用指示液时,尽可能地使其密度ρ与被测流体ρ
A
相接近外,还可采用如图1-6所示的微差压差计。其特
图1-6微差压差计
点是:
(1)压差计内装有两种密度相接近且不互溶的指示液A和C,而指示液C与被测流体
B亦不互溶。
(2)为了读数方便,U形管的两侧臂顶端各装有扩大室,俗称“水库”。扩大室内径与
U形管内径之比应大于10。这样,扩大室的截面积比U形管的截面积大很多,即使U型管
内指示液A的液面差R很大,而扩大室内的指示液C的液面变化仍很微小,可以认为维持
等高。于是压强差-便可用下式计算,即
p1p2
-(ρ-ρ)()
p1p2=ACgR1-12
注意:上式的(ρ-ρ)是两种指示液的密度差,不是指示液与被测液体的密度差。
AC
【例1-4】如本题附图所示,在异径水
平管段两截面(1-1'、2-2’)连一倒置U管压
差计,压差计读数R=200mm。试求两截面间的
压强差。
解:因为倒置U管,所以其指示液应为水。
设空气和水的密度分别为ρ与ρ,根据流体静
g
力学基本原理,截面a-a'为等压面,则
pa=pa'
又由流体静力学基本方程式可得
-ρ
pa=p1gM
-ρ(-)-ρ例附图
pa'=p2gMRggR1-4
联立上三式,并整理得
-(ρ-ρ)
p1p2=ggR
由于ρ《ρ,上式可简化为
g
-≈ρ
p1p2gR
所以-≈××
=1962Pa
【例1-5】如本题附图所示,蒸汽锅炉上装置一复式U形水银测压计,截面2、4间充
满水。已知对某基准面而言各点的标高为
,,,
z0===
,。
z6==
试求锅炉内水面上的蒸汽压强。
解:按静力学原理,同一种静止流体的连
通器内、同一水平面上的压强相等,故有
,,
p1=p2p3=p4p5=p6
对水平面而言,,即
1-2p2=p1
ρ(-)
p2=pa+igz0z1
对水平面3-4而言,
-ρ(-)
p3=p4=p2gz4z2
对水平面5-6有例1-5附图
ρ(-)
p6=p4+igz4z5
锅炉蒸汽压强-ρ(-)
p=p6gz7z6
ρ(-)ρ(-)-ρ(-)-ρ(-)
p=pa+igz0z1+igz4z5gz4z2gz7z6
则蒸汽的表压为
-ρ(--)-ρ(--)
ppa=igz0z1+z4z5gz4z2+z7z6
=13600××(-+-)-1000××
(-+-)
=×105Pa=305kPa
二、液面的测量
化工厂中经常需要了解容器里物料的贮存量,或要控制设备里的液面,因此要对液面进
行测定。有些液位测定方法,是以静力学基本方程式为依据的。
最原始的液位计是在容器底部器壁及液面上方器壁处各开一个小孔,两孔间用短管、管
件及玻璃管相连。玻璃管内液面高度即为容器内的液面高度。这种液面计结构简单,但易于
破损,而且不便于远处观测。
如图1-7所示,是一远距离液
面计装置。
自管口通入压缩空气(若贮罐
5内液为易体燃易爆液则用压缩体
氮气),用调节阀1调流量,使其缓
慢地鼓泡通过观察瓶后通入贮罐。
因通气管内压缩空气流速很小,可
以认为贮罐内通气管出口处a截1-7远距离液面计装置
面,与通气管上U形压差计上b截1-调节阀2-鼓泡观察器瓶3-U管压差计
面的压强近似相等,即≈。若-通气管-贮罐
papb45
与均用表压强表示,根据流体
papb
静力学基本方程式得
ρρ
pa=ghpb=AgR
所以,(1-13)
hAR

式中ρ、ρ——分别为形压差计指示液与容器内液的体密度,3;
AUkg/m
R——U形压差计指示液读数,m;
h——容器内液面离通气管出口的高
度,m。
三、液封高度的确定
化工生产中经常遇到设备的液封问题。设
备内操作条件不同,采用液封的目的也就不
同。但其液封的高度都是根据流体静力学本方
程确定的。
如图1-8,为了控制乙炔发生炉内的压强图1-8
-乙炔发生炉-液封管
不超过规定的数值,炉外装有安全液封。其作ab
用是当炉内压力超过规定值时,气体就从液封管排出,以确保设备操作的安全。若设备要求
压力不超过(表压),按静力学基本方程式,液封管插入液面下的深度为
p1h
p
h1(1-14)
g
HO
2
真空蒸发产生的水蒸汽,往往送入如图1-9
所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。
为了维持操作的真空度,冷凝器上方与真空泵
相通,不时将器内的不凝气体(空气)抽走。
同时为了防止外界空气进入,在气压管出口装
有液封。若真空表读数为p,液封高度为h,则
根据流体静力学基本方程可得:
p
h(1-15)图1-9
g
1―与真空泵相通的不凝性气体出口
2―冷水进口3―水蒸气进口
4―气压管5―液封槽