第二章23231抛物线及其标准方程.doc

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A级 基础巩固
一、选择题
=的抛物线的标准方程为( )
=y =-y
=-x =x
解析:由准线方程为y=,知抛物线焦点在y轴负半轴上,且=,则p=.故所求抛物线的标准方程为x2=-y.
答案:B
-2016x2=0,则它的焦点坐标是( )
A.(504,0) B.
C. D.
解析:抛物线的标准方程为x2=y,故其焦点为(0,).
答案:C
:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()

解析:由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1.
答案:A
=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆过定点( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,4)
解析:由题意易知直线x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点.
答案:B
=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )
,x2,x3成等差数列
,x3,x2成等差数列
,y2,y3成等差数列
,y3,y2成等差数列
解析:由抛物线的定义知|AF|=x1+,|BF|=x2+,
|CF|=x3+.
因为|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,
所以2=+,即2x2=x1+,x2,.
答案:A
二、填空题
=2x上的两点A,B到焦点的距离之和是5,则线段AB中点的横坐标是________.
解析:由抛物线的定义知点A,B到准线的距离之和是5,则AB的中点到准线的距离为,故AB中点的横坐标为x=-=2.
答案:2
,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程是________.
解析:由题意,知抛物线开口向上,且1+=5,所以p=8,即抛物线的标准方程是x2=16y.
答案:x2=16y
,当水面在l时,拱顶离水面2米,,水面宽________米.
解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,所以x2=-=-3时,x2=6,所以水面宽为2.
答案:2
三、解答题
.
(1)焦点在坐标轴上,顶点在原点,且过点(-3,2);
(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上.
解:(1)当焦点在x轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0).把(-3,2)代入,得22=-2p×(-3),解得p=.
所以所求抛物线的标准方程为y2=-x.
当焦点在y轴上时,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).
把(-3,2)代入,得(-3)2=4p,解得p=.
所以所求抛物线的标准方程为x2=y.
(2)直线x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),与y轴的交点为(0,-2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).
当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
则=4,所以py2=16x.
当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则-=-2,所以px2=-8y.
:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解:设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l′:x=2,过点P作PD′⊥l′于点D′,连接PA.
设圆A的半径为r,动圆P的半径为R,可知r=1.
因为圆P与圆A外切,
所以|PA|=R+r=R+1.
又因为圆P与直线l:x=1相切,
所以|PD′|=|PD|+|DD′|=R+1.
因为|PA|=|PD′|,即动点P到定点A与到定直线l′距离相等,
所以点P的轨迹是以A为焦点,以l′为准线的抛物线.
设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),可知p=4,
所以所求的轨迹方程为y2=-8x.
B级 能力提升
(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( )
=12x2
=12x2或y=-36x2
=-36x2
=x2或y=-x2
解析:当a>0时,抛物线开口向上,准线方程为y=-,则点M到准线的距离为3+=6,解得a=,抛物线方程为y=<0时,开口向下,准线方程为y=-,点M到准线的距离为=6,解得a=-,抛物线方程为y=-x2.
答案:D
2.(2019·山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
解析:方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,由|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.
联立方程,得⇒-=1⇒-+1=0.
由根与系数的关系得y1+y2=-=×b2=p.
所以p=p⇒=⇒=,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
方法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,|OF|=,由|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=2p,得y1+y2=p.
kAB===.
由
得kAB===·,
则·=,
所以=⇒=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
=2px(p>0)且一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程为y=2x,斜边长为5,求此抛物线方程.
解:设抛物线y2=2px(p>0)的内接直角三角形为AOB,直角边OA所在直线方程为y=2x,另一直角边所在直线方程为y=-;解方程组可得点B的坐标为(8p,-4p).
因为|OA|2+|OB|2=|AB|2,且|AB|=5,
所以+(64p2+16p2)=325.
所以p=2,所以所求的抛物线方程为y2=4x.