高中数学必修4第2章平面向量的实际背景及基本概念.pdf

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既有大小又有__________的量叫做向量.
只有大小没有方向的量称为数量,如长度、质量、面积、体积等;而向量是不仅有大小而且有方向的量,如位
移、速度、加速度、力等.
数量可进行代数运算,向量不能比较大小.
大小是向量的代数特征,方向是几何特征,即向量具有代数与几何的双重特征.
温馨提示:
(1)向量的模:向量AB的大小,.
(2)零向量:.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,叫做__________.

(1)几何表示:用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的__________,箭头所指的方向表示向量的
__________.
(2)字母表示:.

(1)相等向量:、b相等,则记作ab.
(2)共线向量:方向__________的__________向量叫做平行向量,、b平行,记作a//
定:零向量与__________平行,即对任一向量a,都有0//a.

向量是既有大小又有方向的量,,其实高
中阶段,我们学****的向量主要有平面向量与空间向量,它们之间有着许多类似之处,现在我们已经学****了平面
向量的有关知识,我们可以类比空间向量的有关知识.
类比点平面向量空间向量
定义在平面中,既有大小又有方向的量在空间中,具有大小和方向的量
几何表示法用有向线段表示用有向线段表示
字母表示法用小写字母表示或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母来表示
相等向量长度相等并且方向相同的平面向量长度相等并且方向相同的空间向

(1)几何表示:向量一般用带箭头的有向线段表示,如图中的向量AB.
(2)字母表示:向量用起点和终点的字母表示时,起点在前终点在后,上方的箭头不能丢掉,如AB.
(3)向量与有向线段的区别和联系:
①区别:从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向和长度三个要素,因此它们们是
,有向线段是固定的,而向量是可以自由平移的.
②联系:向量可以用有向线段表示,但并不能说向量就是有向线段.
【例2】已知圆心为O的O上有三点A、B、C,则向量BO、OC、OA是


【答案】C
【解析】圆的半径r|BO||OC||OA|,不一定有r=1,故选C.
【提示】用有向线段表示向量的步骤:

(1)共线向量(也称平行向量)
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”.
(2)相等向量
①用有向线段表示向量时,向量与有向线段的起点位置没有关系,
此,们用有向线段表示向量时,可以我根据题意选择合适的起点.
②用有向线段的起点和终点的字母表示向量时,一定要注意搞清字母顺序,起点在前,终点在后,例如AB与BA
是大小相等,方向相反的两个向量.
③如图,虽然下列向量的起点与终点不同,,向量是可以自由平移的.
【例3】下面命题说法正确的个数是
(1)向量a、b共线,向量b、c共线,则a与c也共线;
(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点;
(3)向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
(4)有相同起点的两个非零向量不平行.

【答案】A
【例4】如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,在向量OB,OC,OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,
DE,FA中与OA共线的向量有

【解析】C
【答案】在向量OB,OC,OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,DE,FA中与OA共线的向量有:向量OD,
BC,.
【提示】共线向量和相等向量的判断及应用
,(判断)
直线平行,但证明直线平行时,除说明向量平行外还需说明向量所在的直线无公共点.
,直接证明往往很困难,用向量法解则决简便得多用向量法证明三点共线的
常用方法是:
(1)证明由三点中任意两点构造的两个不同向量平行;
(2)说明平行的两向量有公共点.
【例5】如图,在平行四边形ABCD中,O是两对角线AC、BD的交点,设点集SA,B,C,D,O,向量集
合T{MN|M,NS,且M,N不重合}.试求集合T中元素的个数.
【错解】由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即AB,AC,AD,AO;
BA,BC,BD,BO;CA,CB,CD,CO;DA,DB,DC,DO;OA,OB,OC,OD.
因此集合T中共有20个元素.
【错解辨析】由于方向相同、长度相等的有向线段表示同一向量,应注意AB与DC,AD与BC,DA与CB,BA
与CD,AO与OC,OA与CO,DO与OB,OD与BO在集合T中分别只能算作一个元素.
【正解】由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即ABDC,ADBC,DACB,BACD,AOOC,
OACO,DOOB,ODBO,又因为集合中元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个.
【名师点睛】平曲向量的实际背景及概念是向量的基础内容,是高中数学从“数”到“形”的转折点,单独考査
的情况并不多见,多与几何知识综合考査,难度不大,多以选择题或填空题出现,解决此类问题的关键是要把握
住图形的特点,能用“数”解“形”,实现两者完美结合.
【基础训练】

、b都是单位向量,则a=b
DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形
、b相等,则它们是始点、终点都相同的向量






,设O是正六边形ABCDEF的中心,在向量OB,OC,OD,OE,OF,AB,BC,CD,EF,DE,
FA中与OA共线的向量有


∥b,且b∥c,则a∥c
,其终点可能不同
,且它们是始点、终点相反的向量
,则A、B、C、D四点共线

①向量AB与CD是平行向量,则A、B、C、D四点一定不在同一直线上;
②向量a与b平行,且|a|=|b|≠0,则a+b=0或a−b=0;
③向量AB长度与向量BA的长度相等;
④单位向量都相等.
A.①③B.②④
C.①④D.②③
①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定相等;④相等向量一定共线;⑤长度相
等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中,不正确的命题是__________.
,AD是△ABC的边BC上的高,BE是边AC上的中线,问线段AD、BE是否可以表示向量.
,正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为1,求向量AB的模、AC的模以及AC的模.
【能力提升】
,b是单位向量,则下列式子正确的是
//b
a
0D.b
a
:
①单位向量的模都相等.
②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量.
③若a与b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b.
④两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
⑤对任意非零向量a,b必有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正确的命题序号是
A.①③⑤B.④⑤C.①④⑤D.②④

,b与c共线,
,

(1)向量a、b共线,向量b、c共线,则a与c也共线;
(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点;
(3)向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
(4)有相同起点的两个非零向量不平行.

CD,且AB//CD,则四边形ABCD的形状为____________.
、B、C是不共线的三点,向量m与向量AB是平行向量,与BC是共线向量,则m____________.
,ABC60,则BD____________.
,已知ABCD,AOBE,ACFB,ACGD,ACDH,点O是ABCD的对角线交点,且OAa,
ODb,ADc.
(1)写出图中与a相等的向量;
(2)写出图中与b相等的向量;
(3)写出图中与c相等的向量.
,已知在四边形ABCD中,M、N分别是BC,AD的中点,又AB:CNMA.
【参考答案】
123459101112
DBCCDCCCA
13.【答案】梯形14.【答案】015.【答案】23
17.【答案】证明详见解析.
【解析】∵ABDC,∴ABDC且AB//DC.
1
∴BC,又M、N分别是BC、AD的中点,于是ANAD,
2
1
MCBC,∴ANMC,又∵AN//MC,∴四边形AMCN是平行四边形.∴CNMA.
2