第十一章第6节.doc

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知识梳理

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.

P(A)=.
[常用结论与微点提醒]
,古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关,而与形状和位置无关.
,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
诊断自测
(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
(2)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是.( )
(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )
解析 如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的概率依次为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).
答案 A
3.(2019·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
.
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.
答案 B
4.(2019·莆田质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长,则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是( )
.
.
解析 任取的两个数记为x,y,所在区域是正方形OABC内部,而符合题意的x,y位于阴影区域内(不包括x,y轴).
故所求概率P==.
答案 B
5.(2019·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C的方程为x2-y=0)的点的个数的估计值为( )


解析 S阴影=S正方形-x2dx=1-=,
所以有==,解得n≈6667.
答案 B
考点一 与长度(角度)有关的几何概型
【例1】(1)(2019·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
.
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在∠DAB内任作射线AP,则射线
AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上,而当他的到达时间落在线段AC或DB上时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P==.
(2)以A为圆心,以AD=1为半径作圆弧交AC,AP,AB分别为C′,P′,B′.
依题意,点P′在上任何位置是等可能的,且射线AP与线段BC有公共点,则事件“点P′在上发生”.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′=.
故所求事件的概率P===.
答案 (1)B (2)
,当考查对象为点,且点的活动范围在线段上时,用“线段长度”为测度计算概率,求解的核心是确定点的边界位置.
2.(1)第(2)题易出现“以线段BD为测度”计算几何概型的概率,导致错求P=.
(2)当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率
.事实上,当半径一定时,曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.
【训练1】(1)(2019·江苏卷)记函数f(x)=[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.
(2)(2019·西安调研)在区间[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.
解析 (1)由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3].
故所求事件的概率P==.
(2)直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件是圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于3.
则<3,解得-<k<.
故所求事件的概率P==.
答案 (1) (2)
考点二 与面积有关的几何概型(多维探究)
命题角度1 与平面图形面积相关的几何概型
【例2-1】(2019·全国Ⅰ卷)如图,,则此点取自黑色部分的概率是( )
.
解析 设正方形的边长为2,则面积S正方形=4.
又正方形内切圆的面积S=π×12=π.
所以根据对称性,黑色部分的面积S黑=.
由几何概型的概率公式,概率P==.
答案 B
命题角度2 与线性规划有关的几何概型
【例2-2】由不等式组确定的平面区域记为Ω1,由不等式组确定的平面区域记为Ω2,若在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为________.
解析 如图,平面区域Ω1就是三角形区域OAB,平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD,易知C.
由几何概型的概率公式,所求概率
P===.
答案
命题角度3 与定积分有关的几何概型
【例2-3】如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=,则此点取自阴影部分的概率等于________.
解析 由题意知,阴影部分的面积S=(4-x2)dx=|=,
所以所求概率P===.
答案
,解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.
,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.
【训练2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
.
.
(2)(2019·石家庄调研)在满足不等式组的平面内随机取一点M(x0,y0),设事件A=“y0<2x0”,那么事件A发生的概率是( )
.
解析 (1)如图,数对(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)===,又P=,所以=,故π=.
(2)作出不等式组
表示的平面区域(即△ABC),A=“y0<2x0”表示的区域为△AOC,其面积为3.
所以事件A发生的概率是.
答案 (1)C (2)B
考点三 与体积有关的几何概型
【例3】(1)(2019·深圳模拟)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
.
(2)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是( )
.
解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心,且棱长为1的小正方体内.
这个小正方体的体积为1,大正方体的体积为27,故安全飞行的概率为P=.
(2)由题意知,当点P在三棱锥的中截面A′B′C′以下时,满足VP-ABC<VS-ABC,又V锥S-A′B′C′=×V锥S-ABC=V锥S-ABC.
∴事件“VP-ABC<VS-ABC”的概率P===.
答案 (1)C (2)A
,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.
,错用“长度”度量,误求P=.
【训练3】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点
M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于的概率为________.
解析 设四棱锥M-ABCD的高为h,由于S正方形ABCD=1,V正方体=1,且S正方形ABCD<.
∴h<,则点M在正方体的下半部分,故所求事件的概率P==.
答案
基础巩固题组
(建议用时:30分钟)
一、选择题
,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷600个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此可以估计阴影部分的面积是( )

解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为,所以阴影部分的面积约为9×=3.
答案 B
,“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆,小圆的半径为2km,大圆的半径为4km,卫星P在圆环内无规则地自由运动,运行过程中,则点P与点O的距离小于3km