自动控制原理与应用第2章自动控制系统数学模型.ppt

自动控制原理与应用
第2章自动控制系统的数学模型
--梁南丁
第2章自动控制系统的数学模型
控制系统的微分方程
传递函数
典型环节的数学模型及其阶跃响应
控制系统的动态结构图
自动控制系统的传递函数
小结

微分方程是描述系统动态特性的数学模型,列写系统的微分方程是建立数学模型的重要环节,研究控制系统时常用的传递函数、动态结构图等都是在微分方程的基础上衍生出来的。
列写系统微分方程的一般步骤为:
(1) 全面了解系统的工作原理、结构组成,确定其输入量和输出量
(2) 从系统的输入端开始,根据元件或环节所遵循的物理规律或化学规律,列出相应的原始方程式。
(3)从所有元件的方程式中消去中间变量,最后得系统的输入输出微分方程式。
注:在条件许可下适当简化,忽略一些次要因素。
(4) 一般情况下,应将微分方程写为标准形式,即把与输入量有关的各项放在方程的右边,把与输出量有关的各项放在方程的左边,各导数项均按降幂排列,即
(2-1)
式中:n≥m。等式左边是系统输出变量及其各阶导数,等式右边是系统输入变量及其各阶导数,且等式左右两边的系数均为实数。
…
=
…+
根据系统的物理特性,可将其分为机械系统、电路系统和机电系统。

弹簧系数k
m
阻尼系数f
F(t)
y(t)
【】设有一个弹簧-物体-阻尼器组成的机械系统,。试列写出系统输入、输出关系的微分方程。其中,K是弹簧的弹性系数,m是物体的质量,ƒ是阻尼器粘性摩擦系数。
解:(1) 确定输入、输出量。
外力作用F(t)为输入量,物体的位移y(t)为输出量。
(2) 列出原始的微分方程。
在机械平移系统中,应遵循牛顿第二定律,即
(2-2)
式中:a为物体运动的加速度,a= ;为所有作用于物体上作用力的总和。
根据对物体m受力分析得:
(2-3)
式中:FB为阻尼器的粘性摩擦力,它和物体的移动速度成正比,即

FK为弹簧的弹力,它和物体的位移成正比,即
FK=Ky
(3)消去中间变量
将以上各式代入式(2-3)两端得
(4)整理成标准形式即

(2-4)
弹簧-物体-阻尼器机械系统

(2-5)
又有
(2-6)
(3) 消去中间变量,得到uo(t)与ui(t)关系的微分方程
由式(2-6)可得
i = (2-7)
将式(2-7)代入式(2-5),整理后得
(2-8)
【】、电感L和电容C组成的电路,试列写其微分方程。
解:
(1) 确定输入、输出量。
ui(t)为输入量,uo(t)为输出量。
(2) 依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程。
设回路电流为i(t),依据基尔霍夫定律,则有
R-L-C电路

【】已知一他
励直流电动机系统如
,试列写
其微分方程。
工作原理:
电枢电压作用下产生
电枢电流,从而产生
电磁转矩使电动机转
动.
Ud
If
Te
TL
Tf
n
输入:电枢电压
输出:电动机速度
他励直流电动机电枢回路
解:
(1) 确定输入、输出量。
输入量为电枢电压ud(t),输出量为电动机转速ω(t)。
(2) 列写原始方程。
电动机电枢回路的电压平衡方程式为
(2-9)
式中:L、R分别为电枢回路的电感(H)和电阻(Ω)。
反电势e为: e=Ceω
式中:Ce为电动机电势常数,单位为V·s/rad(伏·秒/弧度)。
电动机的电磁转矩为Te=Cmi
式中:Cm为电动机转矩常数,单位为N·m/A(牛[顿]·米/安[培])。
电动机轴上的动力学方程,在理想空载情况下,有Te=Jdω/dt
式中:J为转动部分折合到电动机轴上的总转动惯量。
(3) 消去三个中间变量e、i、m ,得输入量ud(t)与输出量ω(t)之间的关系为
(2-13)
若令
则上式可写成
(2-14)
其中,Ta和Tm的单位都是秒,分别称为电动机电枢回路的电磁时间常数和机电时间常数。
由此可见,电枢电压控制的直流电动机的数学模型是一个二阶线性常系数微分方程。