矩阵与向量组的秩.ppt

第二章
第3节向量组与矩阵的秩
矩阵的秩


①.定义求秩
②.初等行变换求秩
③.应用
(即矩阵的
初等行变换
的应用)
①.定义
②.怎样求
③.两者之间的关系
①.判断向量组是否线性相关
②.求向量组的秩
③.求极大的线性无关组
概念:极大线性无关组定义及其求法、向量组的秩、等价向量组;
判断向量组是否线性相关的方法;
本节所学与
解线性方程组
有何关联?
矩阵的子式(P46)
是A的一个三阶子式,
它由A的第2,4,6行
与第1,5,7列交叉处
的元素所构成。
1. 矩阵的秩 Rank()
设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r+1阶子式(若存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作
特殊的,若矩阵A为n阶方阵,且
称A为满秩矩阵(Full Rank Matrix)
否则称为降秩矩阵
规定零矩阵的秩等于0
1. 矩阵的秩 Rank
例1
求矩阵A的秩
解
在A中,容易看出一个2阶子式
A的三阶子式只有一个
经计算可知
因此R(A)=2。
例2
求矩阵B的秩
解:
B是个阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知B的所有4阶子式全为零。
而以三个非零行的第一个非零元
为对角元的3阶行列式
因此R(B)=3
初等变换不改变矩阵的秩,即可用初等变换求矩阵的秩
矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质,所以有:P53
行阶梯型矩阵(Row Echelon Matrix)()
(2)每一行的第一个非零元前面的零元素个数大于前一行这种
零元素的个数;
(3)如果某一行的元素全为零,则以下所有行的元素全为零.
一般用初等行变换,
这与解线性方程组结合
.
行最简型矩阵(Row Reduced Echelon Matrix)
非零行的第一个非零元素为1,且这些非零元1
所在列的其他元素都为零的行阶梯型矩阵
例题:初等行变换求矩阵的秩
下一问题:向量组的秩
●课堂练****br/>利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩
答案:
问题:矩阵 B 中是否所有的三阶子式都不为零?
(P54) 极大(最大)线性无关组
设有向量组T,如果在T中能选出个向量
满足
(1)向量组
线性无关,
(2)向量组T中任意
个(如果有的话)
都线性相关,则称
是向量组T的
一个最大线性无关组,简称最大无关组
向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。
Maximal Linearly Independent Systems