线性代数第四章练习题答案.doc

第四章
二次型
练****4、1
1、写出下列二次型的矩阵
(1)=;
(2)=。
解:(1)因为
=,
所以二次型的矩阵为:。
(2)因为
=,
所以二次型的矩阵为:。
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型:
(1); (2)。
解:(1)设,则
=XTAX=
=。
(2)设,则
=XTAX=

=。
练****4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形,并写出所作的线性替换。
(1)=;
(2)=;
(3)=。
解:(1)二次型的矩阵
A=。
A的特征方程为
===0,
由此得到A的特征值,,。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为
。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:
。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:
。
将单位化,得
,
,
,
令
P==,
则 PTAP=diag(-2,1,4)=。
作正交替换X=PY,即
,
二次型可化为标准形:
。
(2)类似题(1)方法可得:
P=,PTAP=,
即得标准形:。
(3)类似题(1)的方法可得:
P=, PTAP=,
即得标准形:。
2、用配方法将下列二次型化为标准形:
(1)=;
(2)=;
(3)=。
解:(1)先将含有的项配方。
=++-+++
=+++,
再对后三项中含有的项配方,则有
=+++=+。
设Y=,X=,B=,
令Y=BX,则可将原二次型化为标准形。
(2)此二次型没有平方项,只有混合项。因此先作变换,使其有平方项,然后按题(1)的方法进行配方。
令
,即=。
则原二次型化为
=+
=-++
=-,
设Y=,Z=,B=,
令Z=BY,则可将原二次型化为标准形。
(3)类似题(2)的方法,可将原二次型化为标准形:
。
3、用初等变换法将下列二次型化为标准形:
(1)=;
(2)=;
(3)=。(此题与课本貌似而已,注意哈)
解:(1)二次型的矩阵为
A=。
于是
=。
令
C=,
作可逆线性变换X=CY,原二次型可化为标准形:
=。
(2)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:
= 。
(3)类似题(1)的方法,原二次型可化为标准形:
= 。
4、已知二次型
=
的秩为2。求参数c的值,并将此二次型化为标准形。
解:二次型的矩阵为
A=。
因为A的秩为2,令detA=0,可得c=3。
即=
也就是
A= ,
通过初等变换法,即可将其化为标准形:。
5、设2n元二次型
=
试用可逆线性替换法将其化为标准形。
解:令
, P=,
即作正交变换X=CY,二次型可化为标准型:
。
6、已知二次型=(a>0)通过正交变换化为标准型,求的值及所作的正交替换矩阵。
解:因为原二次型可化为,可知原二次型的矩阵的特征值为
1,2和5。
而原二次型的矩阵为
A=。
故A的特征方程为
===0。
因此将此特征方程的解1,2,5代入得:a=2。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为
。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:
。
对于,求其线性方程组,可解得基础解系为:
。
将单位化,得
,
,
,
故正交替换矩阵为:
P==。
练****4、3
1、判别下列二次型是否为正定二次型:
(1)=;
(2)=;
(3)=
。
解:(1)二次型的矩阵为
A=。
由于5>0,=26>0,=84>0,
即A的一切顺序主子式都大于零,故此二次型为正定的。
(2)二次型的矩阵为
A=。
由于
|A|==-3588<0,
故此二次型不为正定的。
(3)二次型的矩阵为:
A=。
由于
=-9<0,
故此二次型不为正定的。
2、当t为何值时,下列二次型为正定二次型:
(1)=;
(2)=;
(3)=。
解:(1)二次型的矩阵为:
A=。
由于
=,=,
但易知不等式组

无解,因此,不论t取何值,此二次型都不是正定的。
(2)二次型的矩阵为:
A=。
此二次型正定的充要条件为
1>0, =>0, |A|=>0,
由此解得:。
(3)二次型的矩阵为:
A=。
由
2>0, >0, |A|=>0,
解得:。
3、设A、B为n阶正定矩阵,证明BAB也是正定矩阵。
证明:由于A、B是正定矩阵,故A及B为实对称矩阵。
所以(BAB)T=BTATBT=BAB,即BAB也为实对称矩阵。
由于A、B为正定矩阵,则存在可逆矩阵C1,C2,有