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等差数列课件
高考复****高中等差数列
1、等差数列定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an-an-1=d(n≥2)或an+1-an=d(n≥1)。
2、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d;
说明:等差数列(通常可称为AP数列)的单调性:d>0为递增数列,d=0为常数列,d<0 为递减数列。
3、等差中项的概念:
定义:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中a+ba+b a,A,b成等差数列?A=。 A=22
n(a1+an)n(n-1)4、等差数列的前n和的求和公式:Sn==na1+d。 22
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列{an}中,相隔等距离的项组成的数列是AP, 如:a1,a3,a5,a7,……;a3,a8,a13,a18,……;
(3)在等差数列{an}中,对任意m,n∈N+,an=am+(n-m)d,d=an-am(m≠n); n-m
(4)在等差数列{an}中,若m,n,p,q∈N+且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
说明:设数列{an}是等差数列,且公差为d,
(Ⅰ)若项数为偶数,设共有2n项,则①S奇-S偶=nd; ② S奇a=n; S偶an+1(Ⅱ)若项数为奇数,设共有2n-1项,则①S偶-S奇=an=a中;②S奇n=。 S偶n-1
6、数列最值
(1)a1>0,d<0时,Sn有最大值;a1<0,d>0时,Sn有最小值;
(2)Sn最值的求法:①若已知Sn,可用二次函数最值的求法(n∈N+);
?an≥0?an≤0②若已知an,则Sn最值时n的值(n∈N+)可如下确定?或?。 a≤0a≥0?n+1?n+1
一、等差数列
1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1
[例1] 根据数列前4项,写出它的通项公式:
(1)1,3,5,7……;
22-132-142-152-1(2),,,; 2345
1111(3)-,,-,。 3*41*22*34*5
(-1)n(n+1)2-1解析:(1)an=2n-1; (2)an= ; (3)an= 。 n(n+1)n+1
点评:每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系,这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
[例2] 已知数列1,4,7,10,?,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+?+(3n-5)是该数列的前几项之和.
错解:(1)an=3n+7;
(2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前n项之和.
错因:误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.
正解:(1)an=3n-2;
(2) 1+4+?+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.
n练****1)已知an=2(n∈N*),则在数列{an}的最大项为; n+156
an(2)数列{an}的通项为an=,其中a,b均为正数,则an与an+1的bn+1
大小关系为___;
(3)已知数列{an}中,an=n2+λn,且{an}是递增数列,求实数λ的取值范围;
2、等差数列的判断方法:定义法an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1(n≥2)。
[例1] 已知数列{an}的前n项之和为① Sn=2n2-n ② Sn=n2+n+1
求数列{an}的通项公式。
错解: ① an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3
② an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n
错因:在对数列概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1与的关系,没注意a1=S1. 2
正解: ①当n=1时,a1=S1=1
当n≥2时,an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3
经检验 n=1时 a1=1 也适合,∴an=4n-3
②当n=1时,a1=S1=3
当n≥2时,an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n
(n=1)?3 ∴ an=? ?2n(n≥2)
[例2] 设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是( )
,但不是等差数列 ,