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高等代数-.ppt

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高等代数-509023.ppt第五章二次型
二次型及其矩阵表示
标准形
唯一性
正定二次型
§1 二次型及其矩阵表示
是一个数域, 是变量,
称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型.
例1
注:
n元二次齐次多项式
§1 二次型及其矩阵表示
,
由矩阵乘法
令系数的一半,
则
简记
§1 二次型及其矩阵表示
例2 写出下列二次型的矩阵表示
解2:
§1 二次型及其矩阵表示
注2: 二次型与对称矩阵A相互唯一确定.
注1: 矩阵A为P上的对称矩阵, .
注3:若矩阵不对称,则的对称矩阵为
,关系式
称为由到的一个线性替换.
§1 二次型及其矩阵表示
由矩阵乘法,
简记,其中为方阵.
当即C可逆时,称 X=CY 为非退化线性替换.
当即C不可逆时,称X=CY为退化线性替换.
注:线性替换把二次型变成二次型.
§1 二次型及其矩阵表示
例3
令
,即为非退化的.
此时,得
§1 二次型及其矩阵表示

设
问题:非退化线性替换把二次型变成二次型,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系?即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.
得
作非退化线性替换可逆,
显然为对称矩阵,则
§1 二次型及其矩阵表示

设A,B为数域P上的两个n阶方阵,
又
证:由,得.
所以与合同.
例3
设A,B为数域P 上的两个n阶方阵,
若,则与合同.
若存在P上可逆矩阵C使得
称A与B合同.
,具有
§1 二次型及其矩阵表示

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