函数奇偶性的判定（原创）.doc

函数奇偶性的判定（原创）.doc函数奇偶性的判定(原创)
函数的奇偶性是函数的一个重要特性,是研究函数问题时需要考察的一个重要方面,它在高中数学的很多方面有着广泛的应用。有关判定函数奇偶性的问题,在各种资料和各级各类考试中屡见不鲜,因此正确判定函数的奇偶性是十分必要的,但是由于现行教材中对其判定方法并未做出系统介绍,导致许多学生把握不住解题要领,面对这些问题,常常显得束手无策,为了帮助学生迅速有效地判定函数的奇偶性,笔者在教学中总结出判定函数奇偶性的一般方法和步骤,以拓展解题思路,完善认知结构,提高思维效率。
判定函数奇偶性的一般方法和步骤:
一看定义域
判断函数定义域是否关于原点对称,这是判定函数奇偶性的必要不充分条件。如果这个条件不满足,此函数为非奇非偶函数,如果满足,才能继续判定函数奇偶性。
二化解析式
对于函数解析式较复杂、繁琐的情况,应先化简解析式,这样有利于判定函数的奇偶性。
三试特殊值
当函数解析式较复杂或不易判定函数的奇偶性时,可先计算此函数的特殊值进行预判,一般是求出容易计算的特殊值、。由函数的奇偶性是定义域上的整体性和任意性可知,函数的奇偶性若在定义域上局部成立,则在定义域上整体有可能成立;若在定义域上局部不成立,则在定义域上整体不成立。
所以根据且,可预判此函数可能是偶函数,不是奇函数;根据且,可预判此函数可能是奇函数,不是偶函数;根据,可预判此函数可能是既奇又偶函数;根据且,可判定此函数一定是非奇非偶函数。这样就使判定函数的奇偶性具有了目的性和方向性,从而克服盲目地判定。
四找判定法
具体的判定方法为:
(1)定义法
若函数的解析式简单或能化简时,可直接用奇偶性的定义进行判断,即验证或。
(2)等价法
若用奇偶性的定义很难判断或解析式不易化简时,可等价验证是否为0,或当时,验证是否为,这样会使判定简单得多。
(3)利用奇偶函数的运算性质
若已知几个函数在公共定义域上的奇偶性,则它们的和(差)、积(商)、倍(分)、倒数所构成的函数的奇偶性,常常可利用以下几个结论判定:
①两个奇偶性相同的函数之和(差),奇偶性不变;
②两个奇函数之积(商)为偶函数,一个奇函数和一个偶函数之积(商)为奇函数,两个偶函数之积(商)为偶函数;
③若是不为0的常数,且函数具有奇偶性,则函数和函数的奇偶性相同;
④若函数具有奇偶性,则函数和函数的奇偶性相同。
(4)利用复合函数的奇偶性
关于复合函数的奇偶性有以下结论:
①若函数在区间上是奇函数,且在区间上的值域为区间,函数在区间上是奇函数,则复合函数在上是奇函数;
②若函数在区间上是偶函数,且在区间上的值域为区间,函数在区间上是奇函数,则复合函数在上是偶函数;
③若函数在区间上是奇函数,且在区间上的值域为区间,函数在区间上是偶函数,则复合函数在上是偶函数;
④若函数在区间上是偶函数,且在区间上的值域为区间,函数在区间上是偶函数,则复合函数
在上是偶函数。
上面结论可以简记为:“里外层同为奇函数时复合函数才为奇函数,其它情况一概为偶函数”。
(5)图象法
若已知函数的图象或可以较方便作出函数的图象时,可根据函数图象关于原点成中心对称或关于轴成轴对称,从而判定出函数的奇偶性。
(6)导数法
利用导数判定函数的奇偶性,常常要用到以下两个一般性结论:
①若为可导的偶函数,则是奇