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第 14 次课 2 学时
上次课复****上次我们学****了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法则,掌握了微分与导数的关系以及微分形式的不变性。
dy=f ¢(x)dx.
d(u±v)=du±dv, d(Cu)=Cdu,d(u×v)=vdu+udv , ,dy=y¢x dx=f ¢(u)j¢(x)dx.
dy=f ¢(u)du 或 dy=y¢u du.
本次课题(或教材章节题目):第三章中值定理与导数应用第一节中值定理
教学要求:1. 理解中值定理,特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义;
2. 会证明中值定理,特别是学会构造辅助函数证明问题的方法;
3. 初步具有应用中值定理论证问题的能力.
重点:罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
辅助函数的构造
难点:辅助函数的构造
教学手段及教具:以讲授为主,使用电子教案
讲授内容及时间分配:
罗尔定理 15分钟
拉格朗日中值定理 25分钟
柯西中值定理 25分钟
中值定理的应用举例 35分钟

课后作业
作业:P 2. (1).12.
参考资料
注:本页为每次课教案首页
第一节中值定理
中值定理
罗尔定理
如满足:(1)在连续.(2)在可导.(3), 则至少存在一点,使
证明:(1) 如果f(x)是常函数, 则f ¢(x)º0, 定理的结论显然成立.
(2) 如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点xÎ(a, b). 于是
,
,
所以f ¢(x)=0.
罗尔定理的几何意义:
连续曲线弧除端点外处处具有不垂
直于x轴的切线,且两个端点纵坐标
相等,则在弧上至少有一点该点处曲
a b
线的切线水平。
例1 设,则
在区间(-1,0)内,方程有2个实根;有1个根.
例2 设在[0,1]可导,且,证明存在,使。
证: 设在[a,b]可导,
∴存在使即.
例3 设在[0,1]可导,且,证明存在,使。
解: 设,且由罗尔定理,存在, 使,
即,
拉格朗日中值定理
如满足:在[a,b]连续;在(a,b)连续,则存在,使.
证明: 引进辅助函数 j(x)=f(x)- x.
容易验证函数 j(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间[a, b] 上连续在开区间(a, b)内可导, 且j ¢(x)=f ¢(x)-.
根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j ¢(x)=0, 即
f ¢(x)-=0.
由此得= f ¢(x) ,
即 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a).
定理证毕.
拉格朗日中值定理的几何意义:
连续曲线弧除端点外处处具有不垂
直于x轴的切线,则在弧上至少有
一点该点处曲线的切线平行于弦AB
a x b
拉格朗日中值公式的其它形式:
设x 为区间[a, b]内一点, x+Dx 为这区间内的另一点(Dx>0或Dx<0), 则在[x, x+Dx ] (Dx>0)或[x+Dx, x ] (Dx<0)应用拉格朗日中值公式, 得
f(x+Dx)-f(x)=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1).
如果记f(x)为y, 则上式又可写为
Dy=f ¢(x+qDx)Dx (0<q<1).
试与微分d y=f ¢(x)Dx 比较: d y =f ¢(x)Dx是函数增量Dy 的近似表达式, 而
f ¢(x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确表达式.
推论:⑴如果在区间I上,则.
证在区间I上任取两点x1, x2(x1<x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得
f(x2)-f(x1)=f ¢(x)(x2 - x1) (x1<x< x2).
由假定, f ¢(x)=0, 所以f(x2)-f(x1)=0, 即 f(x2)=f(x1).
因为x1, x2是I上任意两点, 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函数值总是相等的, 这就是说,
f(x)在区间I上是一个常数.
例4 证明对任意满足的x, 都有.
证明:设
∵

∴∵∴
设,证明.
证明:设,则在区间[0,]上满足拉格朗日中值条件,
则有又由于,所以上式即为
,又由于,有,即
.
柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 且F ¢(x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式
.
成立.
显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F ¢(x)=1,