答有答“法”,否有否“则”.doc

答有答“法”,否有否“则”
解答数学问题都有相应的方法,求某个命题的否命题及命题的否定同样有“法”可循,有“则”可依,故曰:答有答“法”,否有否“则”.本文就谈谈求某个命题的否命题及命题的否定的相关“法”、“则”.
一、命题的否命题
设命题p:若A则B,那么命题p的否命题为:若非A则非B.(条件和结论都要进行否定)
如果一个命题不是“若A则B”的形式,则需先改写成这种形式.
例1 写出下列各命题的否命题.
(1) 同旁内角互补;
(2) ?坌x∈(0,+∞),2x+3>8.
解(1) 因为原命题等价于“若两个角是同旁内角,则它们互补”,所以其否命题为“若两个角不是同旁内角,则它们不互补”.
(2) 因为原命题等价于“若x∈(0,+∞),则2x+3>8”,所以其否命题为“若x(0,+∞),满足2x+3≤8”.
二、简单命题的否定
设命题p:若A则B,那么命题p的否定:若A则非B.(条件不变,只要结论进行否定)
由此可知原命题和它的否命题的真假性没有必然联系,而和它的否定的真假性相反.
例2 写出下列各命题的否命题、命题的否定,并判断它们的真假.
(1) 命题p:若a>b,则2a>2b;
(2) 命题q:若四棱锥各侧面都是正三角形,则该四棱锥是正四棱锥.
解(1) 命题p的否命题:若a≤b,则2a≤2b;真命题.
命题p的否定:若a>b,则2a≤2b;假命题.
(2) 命题q的否命题:若四棱锥各侧面不都是正三角形,则该四棱锥不是正四棱锥;假命题.
命题q的否定:若四棱锥各侧面都是正三角形,则该四棱锥不是正四棱锥;假命题.
三、含有量词的命题的否定
含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性命题,它们的一般形式为:全称命题:?坌x∈M,p(x);存在性命题:?埚x∈M,p(x).
全称命题的否定:?埚x∈M,非p(x);存在性命题的否定:?坌x∈M,非p(x).
例3 写出下列各命题的否定.
(1) 命题p:每一个实数的平方都是非负数;
(2) 命题q:所有的直线m与平面α都不垂直;
(3) 命题r:存在一个实数a,使a不能取对数;
(4) 命题s:有的向量方向不确定.
解(1) 非p:有些实数的平方不是非负数.
(2) 非q:有些直线m与平面α垂直.
(3) 非r:任意一个实数a,有a都能取对数.
(4) 非s:任意一个向量的方向都是确定的.
四、含有逻辑联接结词的命题的否定
非p的否定:p;p或q的否定:非p且非q;p且q的否定:非p或非q.