轨迹方程的求法.doc

轨迹方程的求法.doc轨迹方程的求法
山东王彦青王彦秋江苏王洋
,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”,性质等基础知识的掌握,、定义法、代入法、参数法等,下面举例说明.
一、直接法
直接法是求轨迹方程最基本的方法,它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式,建立x、y之间的关系,化简即得动点轨迹方程f(x,y)=0.
例1 已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解:如图1,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是:P={}(λ>0为常数).
因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.
设点M的坐标为(x,y),
则,
整理,得,
当时,方程化为,它表示一条直线;
当时,方程化为,它表示圆心在,半径为的圆.
评注:本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及分类讨论思想、方程思想,还有综合运用知识的能力.
二、定义法
若动点轨迹的条件符合某一轨迹的定义,可用定义直接探求.
例2 某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱,检测一个直径为3cm的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少?
解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B,问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切,与⊙A、⊙,并设⊙P的半径为r,则.
∴点P在以A、O为焦点,,其方程为.①
同理P也在以O、B为焦点,长轴长为2的椭圆上,
其方程为. ②
由①、②可解得,,
∴.
故所求圆柱的直径为.
评注:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,综合了解析几何、平面几何、,应特别重视利用圆锥曲线的定义解题.
三、相关点法(代换法)
根据相关点所满足的方程,:动点M(x,y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′,y′)的坐标,可先用x,y来表示x′,y′,再代入曲线C的方程,即得点M的轨迹方程.
例3 在椭圆内,有一内接三角形ABC,它的一边BC与长轴重合,点A在椭圆上运动,试求△ABC的重心轨迹.
解:如图3,设重心P(x,y)及A(x1,y1),则AO是△ABC的中线,根据三角形重心公式与定比分点定义,有,则有:
,.
∵点A在椭圆上(不包括B、C两点),
∴(y≠0),
∴+y2=1(y≠0)是所求点的轨迹方程,且所求点的轨迹是一个中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(去除长轴的两端点).
评注:当问题中的动点轨迹是由另一动点