GCT复习材料—数学微积分.doc

GCT复习材料—数学微积分.doc一元函数微积分
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本部分内容包括:考试要求、内容综述、典型例题、真题.
一、函数
[考试要求]
理解函数的概念,掌握函数的表示方法;了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性;理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念;掌握基本初等函数的性质及其图形;会建立简单应用问题中的函数关系.
[内容综述]

(1)函数的定义
(2)函数的两要素
(3)函数的图形
(4)函数的表示法
(5)分段函数:
(6)隐函数: ,

(1)奇偶性
(2)单调性
(3)周期性
(4)有界性

(1)反函数
(2)复合函数:

(1)基本初等函数
常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(2)初等函数
[典型例题]
例1 求下列函数的定义域
(1)
解:由得函数的定义域为。
(2)
解:由得函数的定义域为。
(3)
解:由得函数的定义域为。
例2 已知函数的定义域为,求函数的定义域.
解:由得的定义域为。
例3 研究下列函数的奇偶性
(1),
解:因为对任意的,都有定义,且
,所以是奇函数。
(2)
解:因为,所以函数是奇函数。
(3).偶函数
例4 已知函数的周期是,求函数的周期.
解:欲找,使得,即
,故,。所以函数的周期为。
例5 设,求的表达式.
解:根据得,解方程组
得,令得,所以。
例6 已知, 求的表达式.
解:令得,故。
例7 已知,求的表达式.
解:根据得,即
,
从而。
。
例8 已知求.
解:
二、极限
[考试要求] 数列的极限,函数的极限,极限的运算法则,极限存在的两个准则与两个重要极限,无穷小与无穷大.
[内容综述]

(1)数列的概念
(2)数列极限的概念
(3)判断极限存在的两个准则
单调有界有极限定理:例如:已知,.
夹逼定理:例如: ,利用夹逼定理()。
(4)数列极限的性质
极限的唯一性;绝对收敛性;收敛数列的有界性;保序性
(5)数列极限的四则运算

(1)时的极限
且
(2)时的极限
且
(3)夹逼定理
(4)函数极限的性质
(5)函数极限的四则运算、复合函数的极限

、无穷小量
(1)无穷大量
(2)无穷小量
(3)几个关系
(4)无穷小的比较与等价无穷小代换
[典型例题]
例1 求下列极限的值
(1)
(2)

(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
,故所求极限等于1。
(12)
例2已知,求的值.
解:因为,所以。
例3 已知,求的值.
解:因为,
所以解得。
例4 若, ,求与的值.
解:因为,所以。
例5 已知为周期函数,且,试证.
证明:设函数的周期为,则对任意的都有,其中是任意整数,所以.
例6 证明等价无穷小关系的传递性.
证明:因为,所以.
三、函数的连续性
[考试要求] 理解函数连续性概念,会判断函数间断点的类型;了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质.
[内容综述]

(1)连续及连续点:
(2)左、右连续:
定理:函数在处连续的充要条件是:在处既是左连续又是右连续。
(3)间断点及其分类
第一类:左、右极限都存在(可去型:左右极限相等;跳跃型:左、右极限不等)。
第二类:非一类(左、右极限中至少有一个不存在)。

(1)四则运算
(2)反函数的连续性
(3)复合函数的连续性
:初等函数在其定义域区间上连续。


(1)有界性:若函数在上连续,则其在上有界。
(2)最大、最小值定理:若函数在上连续,则存在,使得对任意的都成立。
(3)零点存在定理:设函数在上连续,且,则存在,使得。
(4)介值定理:设函数在上连续,满足,则对任意的,都存在介于与之间的,使得。
[典型例题]
例1研究下列函数的连续性,并说明间断点的类型
(1)
解:因为,所以是可去型间断点。
(2),
解:由于,所以从而是跳跃型间断点。
(3),
解:因为,所以是跳跃型间断点。
(4),
解:因为,所以是跳跃型间断点。
例2 已知函数在上连续,求的值.
解:。
例3 已知函数