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数分选讲讲稿第19讲.doc

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数分选讲讲稿第19讲.doc讲授内容
备注
第十九讲
3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式
例15 证明:当时,
证已知, (,只有时,等号成立)
在此式两端同时取上的积分,得
再次取上的积分,得
第三次取上的积分,得
所以
上式再在上的积分,得
即
再在上的积分,得
例16 :
,有

证令,则
3学时
几何解释:
同理,令,则
从而
注意到
与关于中点对称,又为凸函数,所以
另一方面,由(1)式及的凸性

例17 :
函数为凸函数.
证在上递增,

所以,为凸函数.
例18 设,在上连续,
且,在上有定义,并且有二阶导数,试证:
证I (利用积分和)将区间等分,记
,为凸函数.
由詹禁定理,取,
即
令,得
证II (利用公式)
记
则
注意,
在上式中,令,然后两边乘以,得
在上取积分
即
其中

§ 不等式
一、不等式及不等式

设为任意实数,则
(不等式)
其中等号当且仅当与成比例时成立.
证1(判别式法)
上式是关于的二次三项式,保持非负,故判别式
证II(配方法)
因此,不等式成立.
等号成立当且仅当,.
证III(利用二次型)
即关于的二次型,非负定,因此
方法III可推广.
即

设在上可积,则
若在上连续,其中等号当且仅当存在常数,使得时成立.(不同时为零)

例1 已知,在上连续,
:
证第一项应用不等式:
同理
(1)+(2):
例2 设在上有连续的导数,试证:
证令
则由,知
不等式的

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