双曲线及其标准方程（教案）.doc

双曲线及其标准方程
设计思路
本节课始终采用了类比的思想,从反比例函数是双曲线出发,从椭圆的概念入手,动画演示双曲线的形成过程,并采用类比的方法,推导双曲线的方程。得出方程之后,再进一步与椭圆对比,分析它们的异同点。在例题的选择上,主要围绕加强对定义的理解和标准方程的掌握上设计。在本节课的最后,还留给学生一道研究性问题,让他们对以前学过的反比例函数有更深的认识。
详细内容
[三维目标]
, 并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系, 建立及推导双曲线的标准方程;
、对照, 掌握双曲线的标准方程, 理解并掌握椭圆与双曲线之间的区别与联系, 并培养学生分析、归纳、推理等能力.
, 能根据条件确定双曲线的标准方程.
、简洁美、对称美,培养学习数学的兴趣.
.
[重点难点]
重点::双曲线的标准方程的推导.
[教学过程]
一、情境创设
问题1:,椭圆是圆锥曲线中的一种,今天我们要学的双曲线也是圆锥曲线的一种,为什么把它们归纳为圆锥曲线?
问题2:请某个同学建立一个坐标系,类比椭圆的方程的推导过程,探索双曲线的标准方程.
二、建构数学
1、双曲线的概念:
平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
注意:双曲线的概念的内涵是什么?
①
②
③
④
探索:双曲线中是为什么?
(1)
(2)
(3)
2、双曲线标准方程的推导:建系设点——建立方程——化简

(1)建系设点
取过焦点、的直线为轴, 线段的垂直平分线为轴建立在直角坐标系(如图).
设为双曲线上任意一点, 双曲线的焦距为,则、,又设
点与
、的距离的差的绝对值等于常数.
(2)点的焦合
双曲线上点的集合是
(3)代数方程
(4)化简方程
由一位学生演板, 教师巡视,
将上述方程化为
移项两边平方后整理得:
两边再平方后整理得:
由双曲线定义知即, ∴,
设代入上式整理得:
, 焦点是、, 这里.
如果双曲线的焦点在轴上, 即焦点、, 可以得到方程
这个方程也是双曲线的标准方程.
教师应当指出:
(1)双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆, 定义中有“差”, 则方程“-”号连接,
(2)双曲线方程中, 但不一定大于;
(3)如果的系数是正的, 那么焦点在轴上, 如果的系数是正的, 那么焦点在轴上, 有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置;
(4)双曲线标准方程中、、的关系是, 不同于椭圆方程中.
两种标准方程:
思考:怎样从标准方程来判断焦点落在哪条坐标轴?
问题3:双曲线与椭圆的异同点
椭圆
双曲线
焦
点
在
轴
上
标准方程
图形
标准方程
图形
焦点坐标
焦点坐标
焦
点