GARCH模型介绍.pdf

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得到了{y2}的解,还不能说就得到了原序列t{y},有了{y2}的解也足ttt够用了.()式的变形方式是严格的,,就是将原数据平方后得到y/,y2,…,2y2,对它们建立AR(p)模型,便得到参数:,…=h2两边取对数可得tttiog(y2)=iog(h)+iog(2)ttt=iog(+y2+y2+…+y2)+log(2)0it-i2t-2pt-pt记x(t)=log(y2),c=Elog(2),=log(2)-c,于是上式可写成ttttx(t)=c+log(:+ex(t-1)+ex(t-2+…+ex(t-p))+.){x(t)}的非线性自回归模型,注意,上式中的序列{},ARCH模t:..型还有别的表示方法,,根据数据y,y,…,y,要作自回归条件异方差模型的统i2T计分析,包含两项内容,首先是用假设检验方法,判别这些数据是否有条件异方差条件性,即,S(y,y,…)=常t-it-2数?如果是否定回答,,我们将介绍参数的估计方法,在第3节中,(GeneralizedARCH)模型:在Engle(1982)提出ARCH模型后,,{e}限制条件的放宽过程可见,提出ARCH模型,,人们自然会发问:在()式中,y的t条件方差S2(y,y,…尸h=+:y2+y2+…+y2,t-1t-2to1t-12t-2pt-p只依赖于p个历史值,能否考虑依赖全部历史值的情况’Bollerslev(1986)给出了回答,他提出了如下的更广的模型即GARCH模型:1/2()y=S(y,y,…)h,tt-1t-2rt222h=+y+y+…+yt01t-12t-2pt-p++…h.()1ht-1+qt-q:..>0,0,i=1,2,…,p;0,j=1,2,…,q.()0i-j-其中{}(0,1)分布,且与{y,y,…}-1t-2对此GARCH模型作如下说明:其一,利用()式反复迭代可得知,h=S2(y,y,…)确tt-1t-2实依赖序列的全部历史值,但是,,t在1997年诺贝尔经济学奖,被两位研究期权定价理论的Black-,Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程,对它进行等间隔离散化采样,所得到的序列,,GARCH模型更被认可,而且,,如前所述,()式的条件>0,,()式中的条件厂0,i=1,2,…,p,还应附加一0个限制:卢+…+>0,否则如果全部产0(i=1,2,…,p)2p将导致()式的h为常数(仍用迭代法可证明).这一点未在文献中t指出,一个潜在原因是:应用者默认p-1,且〉>,与对ARCH模型的说明中的其五很类似,为使GARCH模型有平稳解,对系数(i=1,2,…,p)和广0,j=1,2,…,(也是较强)是:汁…+++…+-<1.()p1q在此条件下,不仅有平稳解,,,,它比ARCH模型要复杂些,具体如下::..y2=h2=h(2-1+1)=h+h(2-1)tttttttt2:2…+■2山口+…+-=+:y+y+y+hg+w01t-12t-2pt-pqt:..222=+:y+y+…+yoit-i2t-2pt-p2222+h(-+1)+…+h(-+1)+W1t-1t-1t-1qt-qt-qt-qt222+:必+y+…+y=:o12t-2pt-p2+h2+…+1t-1t-1qt-q(2)…(2-1ht-1t-1-1--qht-qt-q-1)+wt222+y+y+…+y=:o:1t-12t-2pt-p22+y+…+y-W-…-W+W1t-1qt-q1t-1qt-qt=:+C+)y2+C+)y2+…+c+)y2o11t-122t-2mmt-m…?-W--W+W,(115)1t-1qt-qt其中m=max{p,q},而且,当k>p时=0;当k>q时=0,w=h何2ttkk-).如前所述{w}是平稳鞅差序列,所以,以上表达式说明,{h}tt是由{w},而且,依此可借助于平稳ARMA序列建模方法,,,人们拥有序列观测值y,y,-,y,如果12n要为它们建立GARCH模型,将面对着下列问题:为什么要建立GARCH模型?用多少阶数的模型?怎样获得模型的:..参数值?回答了这些问题,,这一节只讨论模型的参数估计问题,换言之,讨论在模型阶数已知时,如何根据观测值y,…,y,估计出GARCH(或者ARCH)$2n方法可以用来解决这一问题,,,,对ARCH和GARCH模型而言,它们的参数估计方法的难易程度有明显差异,所以,,此方法是基于最小二乘原理。我们先指出在此可以使用此原理的依据,为此不妨以(模型为例说明之。依式知,满足模型的序ARCH1)()ARCH(1)列{y}必满足以下模型t22y=+y+w,()t01t-1t其中w=h(2-1)是鞅差序列(见()式),其实还有tttE{w|y2}=E{h(2-1)|y2}tt-1ttt-1=hE{(2-1)|y2}ttt-1=hE{2|y2}-httt-1t:..=hE{2}-httt:..?=h-h=0.(.)(22)tt利用此式可得知,ooooooE{y-a-aw}=E{:+y+W-a-aw}tot-i0it-itot-i22=}E{(o-a0)+(1-a1)yt-1+wt222=E{(-a)+(-a)y}+E{w}o°iit-it2+2E{[(-a)+(-a)y]w}o°iit-it=E{(-a)+(-a)y2}2+E{w}2+2EE{[(-ooiit-itoa)+(-ady2]w|y2}°it-itt-i(用附录(ii)式)222=E{(-a)+(-a)y}+E{w}o°iit-it22』+2E{[(-a)+(-a)y]E(wy)}o°iit-it-i(用附录(i3)式)=E{(-a)+C-a)y2}2+E{w}2(用()式)ooiit-it=E{(-a)+(-a)y2}2+E{h(2-i)}2ooiit-itt=E{(-a)+(-a)y2}2+Eh2E(2-i)2ooiit-itt-Eh2E(2-i)2=c.(依平稳性)tt易见,上式中的=号成立,当且仅当C-a)=C-a)=,222222?min{E(y-a-ay):a,a}=E{y--y}.(2toit-i°itoit-i3):..?=h-h=0.(.)(22)tt此式表明,用所有可能的系数拟合()模型时,只有以其真系数拟合,才使拟合参差的方差最小!在实际应用时,我们没有()式中的确切的概率分布,:..但是,我们有序列{y}的观测数据y,y,…,y,根据统计学的基ti2n楚性原理---大数定律,()式的最小化特征,用样本平均代替之,随着样本个数的增加将近似成立。换言之,求解以下最小化问题之解,即min{(n-1)-(y):a,a}xt=2t°i=(n-1)n(y2-a-ay2)2,1t=2t°it-i显然,此问题等价于如下的最小化问题min{En(y2-a-ay2)2:a,a}t=2toit-i°i?=n222.()t=2(yt-a0-aiyt-i)24以其解(a,a)作为真参数,’)的估计,称它们为最小二乘估°*i*Co计。这就是使用最小二乘原理的依据。以上论述不难推广到一般的ARCH(p)模型,除了符号的繁琐外,并无本质差异。这里只强调一点:对ARCH(1)使用最小二乘原理时,残差项叫与y相互独立且Ew=0是t-1t常见的条件,至少也要满足条件E{w|y2}=0(.)。这一点tt-1对一般情况也适用。现在介绍ARCH(p)模型参数最小二乘估计方法。首先重新写出()式2222y=:+y+y+…+y+w,t0it-i2t-2pt-ptt=p+1,p+2,…,n.()在此特别强调足标t的取值范围,只是为了模型中的y都落在我t-p们的数据序列中。依前所述,未知参数:..=C,,,…,:)012p的最小二乘估计就是如下的最小值问题的解,即「n222…22。,”…min(y-a-ay-ay--ay“):a,a}t=p+it°it-i2t-2pp?n22…226)=),(t=p+i(yt-ao-aiyt-i--apyt-p2取最小二乘估计:=(a,a,^,a)。***01p欲给出(a,a,^,a)的表达方式,既可用分析方法,又可用***01p代数方法。现在使用后一方法,为此将()式改写成Y=X+W,?(27)其中Y=(y2,y2,…,y2),W=(w,W2,…,w2),p+ip+2np+/p+2“1yy2221yyX=pi2当以a=(a,a,a,^,a)为自由参数向量时,于是有n22222012p(y-a-ay-ay-…-ay)t=p+it°it-i2t-2pt-p=||Y-Xa||2=(Y-Xa)(Y-Xa)=YY-YXa-aXY+aXXa=(XXa-XY)(XX)-1(XXa-XY)+YY-XY)(XX)-1(XY)YY-XY)(XX)-1(XY),其中用到了以下的矩阵性质(XX-XY)(XX)-1(XX-XY),()式的最小值解必满足XX-XY=:..XX-XY=0,即XX=XY,其解为a*=(XX)-1XY.()注意,上式右边的矩阵X和向量Y,都是由已知数据量组成的,计算(XX)-1和(XX)-1XY,,()的系数的最小二乘估计,被()式明显的表达出,,因此,,Engel(佃82)最先引入的条件异方差模型,又是自回归型的条件异方差模型---ARCH模型,也是基于这一便于使用的优占八、、■在时间序列分析中,自回归模型系数的最小二乘估计,有很多优良性质,,将它用于ARCH模型系数估计,,:易理解,易计算;缺点是:欠精细,,,是指在使用最小二乘估计方法时,还需要条件E(y2)2<,才具有相合性,然而此条件对ARCH模t型而言,,使用最小二乘估计方法时,不能保证估计a*=(XX)-1XY的每个分量都是非负的,,,为了保证估计的每个分量都是非负的文献中有如下方法可用,即求如下的最小值问题的解,:..min「n(y2-a-ay2-ay2-…-ay2):t=2t°it-i2t-2pt-pa>0,a-0,…內-0;(y2-a-ay-ay2-…-ay2)-°itoit-/2t-2pt-p0}(2++2…a+22,(2?9)t=2“yt-ao-aiyt-i--pyt-p)取估计:*=(a+,a+,…,a+)。这里叙述此方法的目的有三点可言,01p其一,这是最有效的保证估计的分量都是非负的;其二,可见有多种方法可获得ARCH模型系数的估计;其