工科数学分析基础（大连理工大学）级数复习.doc

第九讲无穷级数
级数的知识框架
级数的概念与性质
1.=叫做无穷级数
2.=称为部分和,若称无穷级数收敛

1) 收敛到,则收敛到.
2) ,收敛到,则级数收敛到.
3) 在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.
4) 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数(4)
仍收敛,且其和不变.
5) 收敛,则
数项级数
正项级数
任意项级数
函数项级数
幂级数
付氏级数狄利克雷收敛定理
要求总体理解概念,重点掌握幂级数
例题
例1 判别下列说法正确与否
1)数列与级数同时收敛或同时发散;
2)收敛,发散,则发散;
3)发散,发散,则发散;
4)收敛,收敛,则收敛;
5)发散,发散,则发散;
6)收敛,则收敛;
7)收敛,则收敛;
8)收敛,,则收敛;
9),收敛,则收敛。
解 1)错;2)对;3)错;4)错;(5)错;(6)错;(7)错;
(8)错;(9)。
例2 选择题
1)设为正项级数,下面结论正确的是
(A)若收敛,则,当时,;
(B)若发散,则,当时,;
(C)若,当时,,则收敛;
(D)若,当时,,则发散;
解选D (A)反例,,当偶数时
当为奇数时;(B)反例,,(C)反例(B)
2) 设收敛
(A)则;
(B)又设当时,,则收敛。
(C)又设收敛,则收敛。
D)设收敛,则收敛。
解 C
(A)反例,(B)见例1(8);(D)见例1(4)
(C),,当时,,
3)设收敛,则
(A)绝对收敛; (B)条件收敛; (C)发散;(D)不定。
解(D) (A)反例,(B)同(A);(C)反例
3) 级数收敛,则级数
(A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)敛散性不定。
解(C)因收敛,,当时,,当收敛,所以收敛。
例3 判别下列级数的敛散性(正项级数)
1.;2. ;3. ;4. ;5. ;
6. ;7. ;8.
解(略)
(1)注意比较极限形式;(2)会用无穷小等价分析;(3)放***常用。
例4 判别级数的敛散性,是绝对收敛还是条件收敛
1.
解令(),,单增,即单减。
又,由莱布尼兹收敛法,原级数收敛。
又发散,理由,故原级数条件收敛。
2.
解因为
由收敛,故原级数绝对收敛。
例5 (抽象级数的敛散性)
(1)已知于上连续,单减,且,记。
证明收敛,且其和。
分析:,故
。
即单增,有上界,从而有极限,即原(抽象)级数收敛。
(2)若,都收敛,且,证明收敛。
证,,而收敛,则收敛,
,从而收敛。
(3)设收敛,绝对收敛,证明:绝对收敛。
证收敛,收敛收敛,有界,即存在,使,,故原级数收敛。
(4) 若正项数列单调上升且有上界,试证明:级数收敛。
证:单调上升,有上界,必有极限,从而有界,存在,使
记

单增有上界,必有极限,故原级数收敛。(小结:抽象单调有界)
关于幂级数
幂级数的收敛半径与收敛域
一、基本内容
若,则
于内收敛。(且内闭一致收敛)
二、例题
例1 求的收敛域。
解令,对于,,
当时,,当时,发散,即时级数收敛。
解得或级数收敛。
例2 求幂级数的收敛域。
解,。
当时,发散。
当时,收敛。则,即是收敛域。
例3 求的收敛域。
解,得,,
当时,发散,当,发散,收敛域为
例4 设在点条件收敛,则该幂级数的收敛半径为___,收敛区间为___________ (4,-5<x<3)
解于点收敛,但不绝对收敛,则是收敛区间得端点,=4,。
例5 设收敛半径为3,则的收敛区间为(-2,4)
解求导后收敛半径不变,故,从。
函数展开成幂级数
一、基础内容

:仅用上述公式展开,研究收敛性
,由如下基本公式演绎展开
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

二、例题
例1 将于点展开成幂级数。
解

例2 将函数展开成的幂级数.
解因为

再积分,由,得

例3 将展开成得幂级数。
解

,故
说明:1. 如例2,例3求导后易于展开,之后积分
2. 被展函数最多出现的是ln,arctan,这两类函数。
。

基本方法
使用函数展开公式(7个公式应用)
变换之后使用公式,求导,积分公式可