卡尔曼滤波的直观推导.ppt

卡尔曼滤波的直观推导
1、kalman滤波问题
考虑一离散时间的动态系统,它由描述状态向量的过程方程和描述观测向量的观测方程共同表示。
(1)、过程方程
式中,M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量,它是不可观测的;M M矩阵F(n+1,n)成为状态转移矩阵,描述动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移,应为已知。而M 1向量为过程噪声向量,它描述状态转移中间的加性噪声或误差。
1、kalman滤波问题
(1)、观测方程
式中,N 1向量y(n)表示动态系统在时间n的观测向量; N M矩阵C(n)称为观测矩阵(描述状态经过其作用,变成可预测的),要求也是已知的;v2(n)表示观测噪声向量,其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程,为了分析的方便,通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n)均为零均值的白噪声过程,它们的相关矩阵分别为:
1、kalman滤波问题
1、kalman滤波问题
还假设状态的初始值x(0)与v1(n) 、 v2(n),n 0均不相关,并且噪声向量v1(n)与v2(n)也不相关,既有:
2、新息过程
考虑一步预测问题,给定观测值y(1), ...,y(n-1),求观测向量y(n)的最小二乘估计,记作
(1)、新息过程的性质
y(n)的新息过程定义为:
式中,N 1向量表示观测数据y(n)的新的信息,简称新息。
2、新息过程
新息具有以下性质:
性质1 n时刻的新息与所有过去的观测数据y(1), ...,y(n-1)正交,即:
性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列{ } 组成,即有
2、新息过程
性质3 表示观测数据的随机向量序列{y(1) ,…y(n)}与表示新息过程的随机向量序列{a(1),…a(n)} 一一对应,即
以上性质表明:n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数据y(1), ...,y(n-1)不相关,并具有白噪声性质的随机过程,但它却能够提供有关y(n)的新息,这就上信息的内在物理含义。
2、新息过程
(2)、新息过程的计算
下面分析新息过程的相关矩阵
在kalman滤波中,并不直接估计观测数据向量的进一步预测,而是先计算状态向量的一步预测
然后再用到下式得到:
2、新息过程
将上式代入新息过程的定义式(6),可得到:
这就是新息过程的实际计算公式,条件是:一步预测的状态向量估计业已求出。
定义向量的一步预测误差: