YR3[1]11《变化率问题》312《导数的概念》课件(人教A版选修1- 1)_.ppt

变化率问题
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是
若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么
当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
思考?
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤,
在1≤ t ≤2这段时间里,
计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
探
究:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态。
定义:
平均变化率:
式子称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ f = f (x2) – f (x1) ,则
理解:
1,式子中△x 、△ f 的值可正、可负,但的△x值不能为0, △ f 的值可以为0
2,若函数f (x)为常函数时, △ f =0
3, 变式
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1
f(x2)-f(x1)
直线AB的斜率
练习:
, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.
(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .