二阶常系数线性微分方程.doc

§ 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的一般形式为
.
这里、是常数,,称为二阶常系数齐次线性微分方程,否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程.

定理1 设与为二阶常系数齐次线性微分方程
(1)
的相互独立的两个特解(即不恒等于常数),则为方程(1)的通解,这里与为任意常数.
证按假设与为方程(1)的解,所以有下式成立
,.
又, , .
代入(1)式左端,得

.
即为方程(1)的解.
在不恒等于常数的条件下,中含有两个相互独立的任意常数和,所以是方程(1)的通解.
由此定理可知,求方程(1)的通解问题,归结为求(1),注意到当为常数时,指数函数和它的各阶导数只相差一个常数因子,因此不妨用来尝试.
设为方程(1)的解,则,,代入方程(1)得
由于,所以有
(2)
只要满足(2)式,函数就是微分方程(1)(2)称为微分方程(1)的特征方程,,故其特征根有三种不同的情况,相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解.
(ⅰ) 当时,特征方程(8-23)有两个不相等的实根和,此时可得方程(1)的两个特解:
, ,
且常数,故是方程(1)的通解.
(ⅱ) 当时,特征方程(8-23)有两个相等的实根,此时得微分方程(1)的一个特解
.
为求(1)的通解,,则
, , .
将及代入方程(1),得
.
将上式约去并合并同类项,得
.
由于是特征方程(2)的二重根,因此,,且,于是得
.
不妨取,由此得到微分方程(1)的另一个特解
,
且常数,从而得到微分方程(1)的通解为
,
即
.
(ⅲ) 当时,特征方程(2)有一对共轭复根
,.
于是得到微分方程(1)的两个特解
,.
但它们是复数形式,为应用方便,利用欧拉公式将和改写成
,
.
于是得到两个新的实函数
,
.
可以验证它们仍是(1)的解,且常数,故微分方程(1)的通解为
.
综上所述,求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下:
第一步写出微分方程(1)的特征方程,求出特征根;
第二步根据特征根的不同形式,按照下表写出微分方程(1)的通解:
表1
特征方程的根微分方程的通解
两个不等实根
两个相等实根
一对共轭复根
例 1 求微分方程的通解.
解所给微分方程的特征方程为
.
特征根为于是,所求微分方程的通解为
.
例 2 求微分方程的满足初始条件的特解.
解所给微分方程的特征方程为
.

.
求导得
.
将初始条件及代入以上两式求得故所求特解为
.
例 3 设函数可导,且满足
.
试求函数.

.

.
这是二阶常系数齐次线性方程,其特征方程为
特征根于是,所求微分方程的通解为
由此得由,得所以
本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法,也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程.
例 4 求四阶微分方程的通解.