模糊数学教案01.ppt

第 1 章模糊集的基本概念
理学院数学系 2-231室
张昆
******@ahau.
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知,经典数学是以精确性为特征的.
然而,与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的. 甚至可以这样说,有时模糊性比精确性还要好.
例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.
尽管这里只提供了一个精确信息――男人,而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念,但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断,就可以接到这个人.
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门,农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
§ 模糊理论的数学基础
一经典集合
:元素彼此相异,即无重复性;范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.

(1)枚举法,A={x1 , x2 ,…, xn};
(2)描述法,A={x | P(x)}.

定义1
A包含于B:AB 若xA,则xB;
A包含B:AB 若xB,则xA;
A等于B:A=B  AB且 AB.
定义2
若A包含于B,称A是B的子集;不含有任何元素的集合称为空集,用表示;设有集合U,对于任意集合A,总有AU,则称U为全集.
显然,任何非空集合A,都有两个子集:A及. 全集是个具有相对性的概念.

定义3
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集,记为(A),即(A)={B|BA }.
对于有限集合来说,|(A)|=2|A|.

定义4
并集:A∪B = { x | xA或xB };
交集:A∩B = { x | xA且xB };
余集:Ac = { x | xA }.

幂等律: A∪A = A, A∩A = A;
交换律: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A;
结合律:( A∪B )∪C = A∪( B∪C ),
( A∩B )∩C = A∩( B∩C );
吸收律: A∪( A∩B ) = A,A∩( A∪B ) = A;
分配律:( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C );
( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C );
0-1律:A∪U = U , A∩U = A ;
A∪= A , A∩= ;
还原律: (Ac)c = A ;
对偶律: (A∪B)c = Ac∩Bc,(A∩B)c = Ac∪Bc;
排中律: A∪Ac = U, A∩Ac = .

定义5
X  Y = { (x , y )| xX , y Y }.
例1 设X ={1, 2},Y = {a,b,c}. 则
XY = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)},
YX = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}.
对于有限集合来说,| XY |= | X | |Y |.
二映射与扩张

定义6
设X 与 Y是两个非空集合,如果存在一个对应规则 f ,使得xX ,有唯一的元素 y Y 与之对应,则称 f 是 X 到 Y 的映射,记为
f : X Y
定义域、值域、满映射、一一映射.
2. 集合A的特征函数
特征函数满足:
取大运算,如2∨3 = 3
取小运算,如2∧3 = 2
扩张:点集映射集合变换
3. 映射的扩张
(点集映射)设映射 f :X Y,则称
f : X (Y)
x | f(x) =B(Y)
为X 到Y的点集映射.
(集合映射)设映射T:X Y,则称
T : (X) (Y)
A|(A)
为X 到Y的集合映射.