数分卷(A试点班)(解答).doc

数分卷(A试点班)(解答).doc华中师范大学 2005 – 2006 学年第一学期
期末考试试卷(A卷)(解答)
课程名称数学分析3(试点班) 课程编号 83410006 任课教师刘敏思
题型
填空题
计算题
计算题
证明题
讨论题
证明题
证明题
总分
分值
10
20
15
15
15
20
5
100
得分
得分
评阅人
一、填空题(共5小题,每题2分,共2×5=10分)
1、.
2、Г()Г(1-) = 其中Г() = ).
3、= 0 (其中).
4、设是上的一条有向光滑曲线, 为上每一点的法线正向, 写出与第一型曲线积分的关系(用的方向余弦表示的关系).
5、设是上的一条围线,,.

院(系): 专业: 年级: 学生姓名: 学号:
------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------
得分
评阅人
二、计算下列重积分(共3小题, 共20分)
1、, 其中是由直线围成的有界区域.
解:因,所以
2、, 其中是由直线围成的有界区域.
解:令,则的对应区域为,
,且
所以原式=
3、, 其中是由锥面与平面所围成的有界区域.
解:由于关于平面对称,且是关于的奇函数,从而
又
所以原式=
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得分
评阅人
三、计算下列曲线积分(共2小题,共15分)
1、,其中为球面与平面的交线.
解:原式=,又根据轮换对称性,
所以,原式==
2、,其中为常数, 为由点到点的上半圆周
.
解:补充有向直线段,由格林公式
原式==
==
其中
得分
评阅人
四、证明与计算题(共2小题,共15分)
(1)、设在有界闭区域上连续,证明:存在,使得
,其中为的面积.
(2)、利用(1)计算,其中,连续且.
------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------
证明:(1)由连续函数性及积分的不等式性质,得
,其中分别为在上的最大值与最小值.
再由积分中值性,存在使得
,其中为的面积.
(2)由(1)知
得分
评阅人
五、判断题(共2题,共15分)
(1)、判断含参量反常积分在上的一致收敛性(其中为正常数).
(2)、利用(1)及可积性定理求积分值.
解:(1)因为,而收敛
由M—判别法得在上的一致收敛性.
(2)由于
再由(1)及可积性
.

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