2023年高考全国甲卷文科数学试卷真题（含答案）.docx

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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 文科数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，，.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 ，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5} ，集合 M = {1, 4}, N = {2, 5}，则 N U ðU M = （ ）
A. {2, 3, 5}
2.
5(1 + i3 )
(2 + i)(2 - i)
B. {1, 3, 4}
= （ ）
C. {1, 2, 4, 5}
D. {2,3, 4,5}
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-1
1 C. 1- i
r r r r
D. 1+ i
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3. 已知向量 a = (3,1),b = (2, 2 ) ，则cos
a + b, a - b
= （ ）
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A. 1 B. 17
17 17

5 5
2 5 5
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某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则
这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
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1
A. B.
6
1 C. 1 D. 2
2
3 3
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记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2 + a6 = 10, a4a8 = 45 ，则 S5 = （ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
执行下边的程序框图，则输出的 B = （ ）
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A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
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F , F x
2
设 为椭圆C : +
2 = 的两个焦点，点 P 在C 上，若 PF × PF
= 0 ，则 PF
× PF
= （ ）
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5
1 2 y 1
1 2 1 2
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A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
ex æ1, e ö
曲线 y = x +1 在点ç 2 ÷ 处的切线方程为（ ）
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y = e x
4
è ø
y = e x
2

y = e x + e
4 4

y = e x + 3e
2 4
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- = > >
x2 y2
已知双曲线 1(a 0,b 0) 的离心率为


，其中一条渐近线与圆(x -

2 + -

2 = 交 于 A，
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a2 b2
2) ( y
3) 1
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5
B 两点，则| AB |= （ ）
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5 5
2 5 5
3 5 5
4 5 5
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6
在三棱锥 P - ABC 中， VABC 是边长为 2 的等边三角形， PA = PB = 2, PC = ，则该棱锥的体积为（ ）
3
A. 1 B. C. 2 D. 3
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11. 已知函数 f ( x) = e-(x-1)2 ．记a =
f æ 2 ö, b = f æ 3 ö, c = f æ 6 ö ， 则（ ）
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ç 2 ÷ ç 2 ÷ ç 2 ÷
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b > c > a

b > a > c
è ø è ø è ø
c > b > a

c > a > b
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函数 y = f ( x) 的图象由 y = cosæ 2x + pö 的图象向左平移p个单位长度得到，则 y = f ( x) 的图象与
ç 6 ÷ 6
è ø
直线 y = 1 x - 1 的交点个数为（ ）
2 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若8S6 = 7S3 ，则{an}的公比为 ．
若 f ( x ) = (x -1)2 + ax + sin æ x + π ö 为偶函数，则 a = ．
ç 2 ÷
è ø
ì3x - 2 y £ 3,
í
若 x，y 满足约束条件ï-2x + 3y £ 3 ，则 z = 3x + 2 y 的最大值为 ．
î
ïx + y ³ 1,
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 4,O 为 AC1 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点， 则球O 的半径的取值范围是 ．
三、解答题：共 70 、 17~21 题为必考题，每
22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
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ABC
记V 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 b2 + c2 - a2
cosA
= 2 ．
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求bc ；
若 acosB - bcosA - b = 1，求VABC 面积．
acosB + bcosA c
如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， A1C ^ 平面 ABC, ÐACB = 90° ．
证明：平面 ACC1A1 ^平面 BB1C1C ；
设 AB = A1B, AA1 = 2 ，求四棱锥 A1 - BB1C1C 的高．
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一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配到试验组，另外20 只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为

32 6
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为


（1）计算试验组的样本平均数；
< m
³ m
对照组
试验组
（2）（ⅰ）求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 m，再分别统计两样本中小于 m 与不小于 m 的数据的个数，完成如下列联表
（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增
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加量有差异？
2

n(ad - bc)2
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附： K
= (a + b)(c + d )(a + c )(b + d ) ，
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P (K 2 ³ k )
0 100


k



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已知函数 f ( x) = ax -
sinx
, x Î æ 0, π ö ．
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cos2 x
ç 2 ÷
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è ø
当 a = 1 时，讨论 f ( x ) 的单调性；
若 f ( x ) + sinx < 0 ，求a 的取值范围．
15
已知直线 x - 2 y +1 = 0 与抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 交于 A, B 两点， AB = 4 ．
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求 p ；
设 F 为C 的焦点， M , N 为C 上两点，且 FM × FN = 0 ，求△MFN 面积的最小值．
（二）选考题：共 10 22、23 ，则按所做的第一题计分.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
í y = 1+ tsina
已知点 P (2,1) ，直线l : ìx = 2 + tcosa, （ t 为参数），a为l 的倾斜角，l 与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴分
î
别交于 A, B ，且 PA × PB = 4 ．
（1）求a；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23. 已知 f (x) = 2 x - a - a, a > 0 ．
求不等式 f ( x ) < x 的解集；
若曲线 y = f ( x) 与坐标轴所围成的图形的面积为 2，求a ．
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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 文科数学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，，.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 ，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集U = {1, 2,
A. {2, 3, 5}
3, 4, 5} ，集合 M = {1, 4},
B. {1, 3, 4}
N = {2, 5}，则 N U ðU M =
C. {1, 2, 4, 5}
（ ）
D. {2,3, 4,5}
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 M = {1, 4} ，所以ðU M = {2, 3, 5} ， 又 N = {2, 5}，所以 N U ðU M ={2, 3, 5}，
故选：A.
2.
5(1 + i3 )
(2 + i)(2 - i)

= （ ）
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-1
1 C. 1- i
D. 1+ i
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【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
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【详解】
5(1 + i3 )
= 5(1 -i ) = 1- i
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(2 + i)(2 - i) 5
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故选：C.
3. 已知向量 a = (3,1),b = (2, 2 ) ，则cos
r r r r
a + b, a - b
= （ ）
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A. 1 B. 17
17 17

5 5

2 5 5
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【答案】B
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【解析】

r r r r r r r r
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【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 a + b , a - b , (a + b )× (a - b ) ，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 a = (3,1), b = (2, 2) ，所以 a + b = (5, 3), a - b = (1, -1) ，
r r r r r r r r
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52 + 32
1+1
2
则 a + b =
= 34, a - b =
= ， (a + b)×(a - b ) = 5´1+ 3´ (-1) = 2 ，
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所以cos
r r r r
a + b, a - b
r r r r
( ) ( ) 2 17
a + b × a - b
r r r r
a + b a - b
34 ´
2
= = = .
17
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故选：B.
某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名．从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，则这 2 名学生来自不同年级的概率为（ ）
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1 1
A. B.
6 3
【答案】D
【解析】

1 2

2 3
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【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
4
【详解】依题意，从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，总的基本事件有C2 = 6 件，
2 2
其中这 2 名学生来自不同年级的基本事件有C1 C1 = 4 ， 所以这 2 名学生来自不同年级的概率为 4 = 2 .
6 3
故选：D.
记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2 + a6 = 10, a4a8 = 45 ，则 S5 = （ ）
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{an}的公差和首项，再根据前 n 项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{an}的公差，再根据前 n 项和公式的性质即可解出．
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【详解】方法一：设等差数列{an }的公差为d ，首项为 a1 ，依题意可得，
a2 + a6 = a1 + d + a1 + 5d = 10 ，即 a1 + 3d = 5 ,
又 a4a8 = (a1 + 3d )(a1 + 7d ) = 45 ，解得： d = 1, a1 = 2 ，
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所以 S

5 = 5a1
+ 5´ 4 ´ d = 5´ 2 +10 = 20 ．
2
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故选：C.
方法二： a2 + a6 = 2a4 = 10 ， a4a8 = 45 ，所以 a4 = 5 ， a8 = 9 ，
从而 d = a8 - a4 = 1，于是 a = a - d = 5 -1 = 4 ，
8 - 4 3 4
所以 S5 = 5a3 = 20 ．
故选：C.
执行下边的程序框图，则输出的 B = （ ）
A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．
【详解】当k = 1时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A = 1+ 2 = 3 ， B = 3 + 2 = 5 ， k = 1 + 1 = 2 ； 当 k = 2 时，判断框条件满足，第二次执行循环体， A = 3 + 5 = 8， B = 8 + 5 = 13， k = 2 + 1 = 3 ；
当 k = 3 时，判断框条件满足，第三次执行循环体， A = 8 +13 = 21， B = 21+13 = 34， k = 3 +1 = 4 ；
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当k = 4 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出 B = 34 ． 故选：B.
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F , F x
2
设 为椭圆C : +
2 = 的两个焦点，点 P 在C 上，若 PF × PF
= 0 ，则 PF
× PF
= （ ）
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5
1 2 y 1
1 2 1 2
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A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2 的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
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【详解】方法一：因为 PF1 × PF2
= 0 ，所以ÐFP1F2
= 90o ，
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从而 S
= b2 tan 45o = 1 = 1 ´ PF × PF ，所以 PF × PF
= 2 ．
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V FP1F2
故选：B.
2 1 2 1 2
第 9页/共 27页
第 9页/共 27页
方法二：
因为 PF1 × PF2

= 0 ，所以ÐFP1F2

= 90o ，由椭圆方程可知， c2 = 5 -1 = 4 Þ c = 2 ，
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第 9页/共 27页
所 以 PF 2 + PF 2 = F F 2 = 42 = 16 ， 又 PF + PF
= 2a = 2
，平方得：
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5
1 2 1 2 1 2
第 9页/共 27页
PF 2 + PF 2 + 2 PF PF = 16 + 2 PF PF = 20 ， 所 以 PF × PF
= 2 ．
第 9页/共 27页
1 2 1 2 1 2 1 2
第 9页/共 27页
故选：B.
ex

æ1, e ö
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曲线 y = x +1 在点ç
2 ÷ 处的切线方程为（ ）
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y = e x
4
è ø
y = e x
2

y = e x + e
4 4

y = e x + 3e
2 4
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【答案】C
【解析】
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
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程即可求解.
【详解】设曲线

= ex æ e ö e
在点 1, 处的切线方程为 y - = k ( x -1) ，

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y ç 2 ÷ 2
x +1 è ø
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因为 y =

ex
，
x +1
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所以 y¢
ex ( x +1) - ex
= 2 =
x ex
2 ，
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所以 k = y¢ |
( x +1) ( x +1)
= e
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x=1 4
所以 y - e = e ( x -1)
2 4
è ø
x
所以曲线 y = e 在点æ1, e ö处的切线方程为 y = e x + e .
x +1 ç 2 ÷ 4 4
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故选：C
- = > >
x2 y2
已知双曲线 1(a 0,b 0) 的离心率为


，其中一条渐近线与圆(x -

2 + -

2 = 交 于 A，
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a2 b2
2) ( y
3) 1
第 13页/共 27页
5
B 两点，则| AB |= （ ）
第 13页/共 27页
5 5
2 5 5
3 5 5
4 5 5
第 13页/共 27页
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
第 13页/共 27页
5
c2
【详解】由e = ，则 a2 =
解得 b = 2 ，
a
a2 + b2
a2
b2
= 1+ = 5 ，
a2
第 13页/共 27页
所以双曲线的一条渐近线不妨取 y = 2x ，
| 2 ´ 2 - 3 |
22 +1
则圆心(2, 3) 到渐近线的距离d = = 5 ，
5
第 13页/共 27页
所以弦长| AB |= 2
= 2 = 4 5 .
r 2 - d 2
1 - 1
5
5
第 13页/共 27页
故选：D
6
在三棱锥 P - ABC 中， VABC 是边长为 2 的等边三角形， PA = PB = 2, PC = ，则该棱锥的体积为（ ）
3
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
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